1. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Nếu det(A) ≠ 0, hệ phương trình có:
A. Vô số nghiệm
B. Vô nghiệm
C. Nghiệm duy nhất
D. Có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm
2. Trong không gian vectơ R^3, tích có hướng của hai vectơ u và v là một vectơ:
A. Cùng phương với u và v.
B. Vuông góc với cả u và v.
C. Nằm trong mặt phẳng chứa u và v.
D. Song song với mặt phẳng chứa u và v.
3. Trong không gian vectơ, cơ sở của một không gian con là:
A. Một tập hợp sinh và phụ thuộc tuyến tính.
B. Một tập hợp không sinh và độc lập tuyến tính.
C. Một tập hợp sinh và độc lập tuyến tính.
D. Bất kỳ tập hợp các vectơ nào trong không gian con.
4. Độc lập tuyến tính của một tập hợp các vectơ có nghĩa là:
A. Một vectơ trong tập hợp có thể biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại.
B. Không có vectơ nào trong tập hợp có thể biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại.
C. Tất cả các vectơ trong tập hợp đều vuông góc với nhau.
D. Tập hợp chứa vectơ không.
5. Trong phân tích thành phần chính (PCA), đại số tuyến tính được sử dụng để:
A. Mã hóa dữ liệu.
B. Giảm chiều dữ liệu bằng cách tìm các thành phần chính.
C. Tăng chiều dữ liệu.
D. Tăng độ nhiễu của dữ liệu.
6. Cho ma trận A kích thước m x n và ma trận B kích thước p x q. Khi nào thì phép nhân ma trận AB thực hiện được?
A. Luôn thực hiện được với mọi ma trận A và B.
B. Chỉ thực hiện được khi n = p.
C. Chỉ thực hiện được khi m = q.
D. Chỉ thực hiện được khi m = n = p = q.
7. Cho ma trận A kích thước m x n. Hạng của ma trận A, ký hiệu rank(A), là:
A. Số cột của A.
B. Số dòng của A.
C. Số chiều của không gian cột của A (hoặc không gian dòng của A).
D. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của A.
8. Vector riêng của ma trận vuông A không thay đổi hướng khi nhân với A, mà chỉ thay đổi:
A. Hình dạng.
B. Độ lớn (tỷ lệ).
C. Vị trí.
D. Màu sắc.
9. Phép chiếu trực giao của vectơ u lên vectơ v (v ≠ 0) là:
A. một vectơ vuông góc với v.
B. một vectơ cùng hướng với v.
C. một vô hướng.
D. một ma trận.
10. Tích vô hướng của hai vectơ u và v trong không gian Euclide là một:
A. Vectơ.
B. Ma trận.
C. Vô hướng.
D. Tập hợp.
11. Ma trận đường chéo là ma trận vuông mà:
A. Tất cả các phần tử đều bằng 1.
B. Tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0.
C. Tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 0.
D. Tất cả các phần tử đều khác 0.
12. Phép khử Gauss được sử dụng để:
A. Tính định thức của ma trận.
B. Tìm giá trị riêng của ma trận.
C. Giải hệ phương trình tuyến tính và tìm ma trận nghịch đảo.
D. Tính tích vô hướng của hai vectơ.
13. Số chiều của không gian vectơ là:
A. Số lượng tất cả các vectơ trong không gian.
B. Số lượng vectơ không trong không gian.
C. Số lượng vectơ trong một cơ sở của không gian.
D. Số lượng không gian con của không gian.
14. Không gian vectơ con của một không gian vectơ V là:
A. Một tập con của V đóng với phép cộng vectơ nhưng không đóng với phép nhân vô hướng.
B. Một tập con của V đóng với phép nhân vô hướng nhưng không đóng với phép cộng vectơ.
C. Một tập con của V đóng với cả phép cộng vectơ và phép nhân vô hướng, và chứa vectơ không.
D. Bất kỳ tập con nào của V.
15. Ma trận trực giao là ma trận vuông A thỏa mãn:
A. A = A^T
B. A = -A^T
C. A * A^T = I
D. A * A = I
16. Định thức của ma trận tam giác (trên hoặc dưới) bằng:
A. Tổng các phần tử trên đường chéo chính.
B. Tích các phần tử trên đường chéo chính.
C. Tổng các phần tử ngoài đường chéo chính.
D. Tích các phần tử ngoài đường chéo chính.
17. Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu:
A. det(A) ≠ 0
B. det(A) = 0
C. A là ma trận đường chéo
D. A là ma trận tam giác
18. Chuẩn của một vectơ (norm) đo lường:
A. Hướng của vectơ.
B. Độ dài của vectơ.
C. Góc giữa vectơ và trục x.
D. Vị trí của vectơ trong không gian.
19. Đường chéo hóa ma trận vuông A có nghĩa là tìm ma trận khả nghịch P sao cho P^(-1)AP là:
A. Ma trận tam giác.
B. Ma trận đường chéo.
C. Ma trận đơn vị.
D. Ma trận không.
20. Không gian cột của ma trận A là:
A. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các dòng của A.
B. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các cột của A.
C. Tập hợp tất cả các nghiệm của Ax = 0.
D. Tập hợp tất cả các nghiệm của Ax = b.
21. Cho hai ma trận A và B cùng kích thước. Khi nào thì phép cộng ma trận A + B thực hiện được?
A. Luôn thực hiện được với mọi ma trận A và B.
B. Chỉ thực hiện được khi số cột của A bằng số dòng của B.
C. Chỉ thực hiện được khi A và B có cùng kích thước.
D. Chỉ thực hiện được khi A và B là ma trận vuông.
22. Phương pháp bình phương tối thiểu được sử dụng để:
A. Giải hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất.
B. Giải hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm hoặc vô số nghiệm gần đúng.
C. Tính định thức của ma trận.
D. Tìm giá trị riêng của ma trận.
23. Giá trị riêng của ma trận A là các giá trị λ sao cho tồn tại vectơ khác không v thỏa mãn:
A. Av = λ + v
B. Av = λv
C. Av = v/λ
D. Av = λ^2 v
24. Định thức của tích hai ma trận vuông det(AB) bằng:
A. det(A) + det(B)
B. det(A) - det(B)
C. det(A) * det(B)
D. det(A) / det(B)
25. Ứng dụng của đại số tuyến tính trong đồ họa máy tính bao gồm:
A. Phân tích dữ liệu thống kê.
B. Biến đổi và chiếu hình ảnh 3D lên màn hình 2D.
C. Giải các bài toán tối ưu hóa trong kinh tế.
D. Mô hình hóa các hệ thống vật lý phức tạp.
26. Không gian dòng của ma trận A là:
A. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các cột của A.
B. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các dòng của A.
C. Tập hợp tất cả các nghiệm của Ax = 0.
D. Tập hợp tất cả các nghiệm của Ax = b.
27. Phép biến đổi tuyến tính T: V → W là một ánh xạ thỏa mãn:
A. T(u + v) = T(u) + T(v) và T(cu) = cT(u) với mọi u, v ∈ V và mọi vô hướng c.
B. T(u + v) = T(u)T(v) và T(cu) = c + T(u) với mọi u, v ∈ V và mọi vô hướng c.
C. T(u + v) = T(u) - T(v) và T(cu) = cT(u) với mọi u, v ∈ V và mọi vô hướng c.
D. T(u + v) = T(u) + T(v) và T(cu) = T(c)T(u) với mọi u, v ∈ V và mọi vô hướng c.
28. Không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0 luôn chứa:
A. Vectơ đơn vị.
B. Vectơ không.
C. Tất cả các vectơ của không gian R^n.
D. Không chứa vectơ nào.
29. Ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu A^T, được tạo ra bằng cách:
A. Nhân tất cả các phần tử của A với -1.
B. Đổi chỗ các dòng và cột của A.
C. Tính định thức của A.
D. Tính ma trận nghịch đảo của A.
30. Phân tích LU của ma trận vuông A phân tích A thành:
A. Tổng của ma trận tam giác dưới L và ma trận tam giác trên U.
B. Tích của ma trận tam giác dưới L và ma trận tam giác trên U.
C. Thương của ma trận tam giác dưới L và ma trận tam giác trên U.
D. Hiệu của ma trận tam giác dưới L và ma trận tam giác trên U.
