1. Ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở C là ma trận:
A. Biểu diễn các vectơ của cơ sở C dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở B.
B. Biểu diễn các vectơ của cơ sở B dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở C.
C. Ma trận đường chéo với các giá trị riêng trên đường chéo chính.
D. Ma trận nghịch đảo của ma trận chuyển cơ sở từ C sang B.
2. Không gian null (null space) của ma trận A là gì?
A. Không gian sinh bởi các cột của A.
B. Không gian nghiệm của hệ phương trình Ax = 0.
C. Không gian sinh bởi các hàng của A.
D. Không gian nghiệm của hệ phương trình Ax = b, với b ≠ 0.
3. Cho ma trận vuông A cấp n. Định thức của ma trận A khả nghịch khác 0 khi và chỉ khi nào?
A. A là ma trận đường chéo.
B. A là ma trận tam giác.
C. A là ma trận suy biến.
D. A là ma trận khả nghịch.
4. Khi nào ma trận vuông A khả chéo hóa được?
A. Khi định thức của A khác 0.
B. Khi A có đủ số lượng vectơ riêng độc lập tuyến tính bằng cấp của ma trận.
C. Khi A là ma trận đối xứng.
D. Khi tất cả các giá trị riêng của A khác nhau.
5. Không gian cột (column space) của ma trận A là gì?
A. Không gian nghiệm của hệ phương trình Ax = 0.
B. Không gian sinh bởi các hàng của A.
C. Không gian sinh bởi các cột của A.
D. Không gian các vectơ vuông góc với các cột của A.
6. Phân tích QR của ma trận A là gì?
A. Phân tích A thành tích của ma trận tam giác dưới và ma trận tam giác trên.
B. Phân tích A thành tích của ma trận trực giao Q và ma trận tam giác trên R.
C. Phân tích A thành tổng của ma trận trực giao và ma trận đường chéo.
D. Phân tích A thành tích của ma trận đường chéo và ma trận phản đối xứng.
7. Điều kiện nào sau đây KHÔNG phải là điều kiện cần và đủ để một tập hợp con H của không gian vectơ V là một không gian con?
A. Vectơ không của V thuộc H.
B. H đóng kín với phép cộng vectơ.
C. H đóng kín với phép nhân vectơ với một số vô hướng.
D. H khác rỗng và hữu hạn.
8. Phát biểu nào sau đây về không gian vectơ con sinh bởi một tập hợp các vectơ S là đúng?
A. Không gian con sinh bởi S là tập hợp giao của tất cả các không gian con chứa S.
B. Không gian con sinh bởi S là tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong S.
C. Không gian con sinh bởi S chỉ chứa các vectơ trong S.
D. Không gian con sinh bởi S luôn là toàn bộ không gian vectơ.
9. Định thức của tích hai ma trận vuông A và B cùng cấp bằng:
A. det(A) + det(B).
B. det(A) - det(B).
C. det(A) * det(B).
D. det(A) / det(B).
10. Giá trị riêng của ma trận vuông A là gì?
A. Các nghiệm của phương trình det(A - λI) = 0, trong đó I là ma trận đơn vị và λ là biến số.
B. Các phần tử trên đường chéo chính của ma trận A.
C. Các nghiệm của phương trình det(A) = 0.
D. Các cột của ma trận A.
11. Cho ma trận A có các giá trị riêng là λ1, λ2, ..., λn. Định thức của ma trận A bằng:
A. Tổng các giá trị riêng: λ1 + λ2 + ... + λn.
B. Tích các giá trị riêng: λ1 * λ2 * ... * λn.
C. Giá trị riêng lớn nhất.
D. Giá trị riêng nhỏ nhất.
12. Trace (vết) của ma trận vuông A là gì?
A. Định thức của ma trận A.
B. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận A.
C. Tích các phần tử trên đường chéo chính của ma trận A.
D. Giá trị riêng lớn nhất của ma trận A.
13. Phân tích LU của ma trận vuông A là gì?
A. Phân tích A thành tích của hai ma trận trực giao.
B. Phân tích A thành tổng của ma trận đường chéo và ma trận phản đối xứng.
C. Phân tích A thành tích của ma trận tam giác dưới L và ma trận tam giác trên U.
D. Phân tích A thành tích của ma trận đường chéo và ma trận đơn vị.
14. Vectơ riêng của ma trận vuông A ứng với giá trị riêng λ là gì?
A. Bất kỳ vectơ nào khác vectơ không.
B. Vectơ nghiệm của hệ phương trình (A - λI)v = 0, khác vectơ không.
C. Vectơ cột của ma trận A.
D. Vectơ hàng của ma trận A.
15. Định lý Cayley-Hamilton phát biểu rằng:
A. Mọi ma trận vuông đều khả nghịch.
B. Mọi ma trận vuông đều thỏa mãn phương trình đặc trưng của chính nó.
C. Mọi ma trận vuông đều có thể chéo hóa được.
D. Định thức của ma trận bằng tích các giá trị riêng.
16. Ma trận đối xứng là ma trận vuông A sao cho:
A. A = -A^T.
B. A = A^(-1).
C. A = A^T.
D. A = I (ma trận đơn vị).
17. Phép biến đổi tuyến tính T: R^2 -> R^2 được cho bởi T(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc là ma trận nào?
A. [[2, 1], [1, -1]]
B. [[2, -1], [1, 1]]
C. [[1, 2], [-1, 1]]
D. [[-1, 1], [2, 1]]
18. Khi nào hai ma trận A và B được gọi là đồng dạng?
A. Khi chúng có cùng kích thước.
B. Khi chúng có cùng định thức.
C. Khi tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho B = P^(-1)AP.
D. Khi chúng có cùng hạng.
19. Phép chiếu trực giao của vectơ u lên vectơ v (v ≠ 0) được tính bằng công thức nào?
A. proj_v(u) = (u.v) / ||v||
B. proj_v(u) = ((u.v) / ||v||^2) * v
C. proj_v(u) = (u.v) * v
D. proj_v(u) = u - v
20. Trong không gian vectơ R^3, cho vectơ u = (1, 2, 3) và v = (4, 5, 6). Tích có hướng của u và v là vectơ nào?
A. (-3, 6, -3)
B. (3, -6, 3)
C. (0, 0, 0)
D. (7, 7, 9)
21. Hệ phương trình tuyến tính Ax = b có nghiệm khi và chỉ khi nào?
A. Ma trận A khả nghịch.
B. Vectơ b là vectơ không.
C. Hạng của ma trận bổ sung [A|b] bằng hạng của ma trận A.
D. Định thức của ma trận A khác 0.
22. Số chiều của không gian vectơ là gì?
A. Số vectơ trong một tập sinh của không gian vectơ.
B. Số vectơ trong một tập độc lập tuyến tính của không gian vectơ.
C. Số vectơ trong bất kỳ cơ sở nào của không gian vectơ.
D. Số chiều của không gian con của không gian vectơ.
23. Hạng của ma trận là gì?
A. Số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tương ứng.
B. Số cột của ma trận.
C. Số dòng khác không tối đa trong dạng bậc thang rút gọn của ma trận.
D. Tổng các phần tử trên đường chéo chính.
24. Phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận KHÔNG làm thay đổi yếu tố nào sau đây?
A. Định thức của ma trận.
B. Không gian cột của ma trận.
C. Không gian hàng của ma trận.
D. Không gian nghiệm của hệ Ax = 0.
25. Ma trận trực giao là ma trận vuông Q sao cho:
A. Q^T = -Q.
B. Q^T = Q^(-1).
C. Q^T = Q.
D. det(Q) = 0.
26. Cơ sở của không gian vectơ là gì?
A. Một tập hợp sinh của không gian vectơ.
B. Một tập hợp độc lập tuyến tính của không gian vectơ.
C. Một tập hợp sinh và độc lập tuyến tính của không gian vectơ.
D. Bất kỳ tập hợp con nào của không gian vectơ.
27. Trong không gian R^n với tích vô hướng Euclid, hai vectơ u và v được gọi là trực giao nếu:
A. Chúng cùng phương.
B. Tích vô hướng của chúng bằng 0 (u.v = 0).
C. Chúng có cùng độ dài.
D. Chúng vuông góc với một vectơ thứ ba.
28. Quá trình Gram-Schmidt được sử dụng để làm gì?
A. Để giải hệ phương trình tuyến tính.
B. Để tìm định thức của ma trận.
C. Để trực chuẩn hóa một cơ sở của không gian vectơ.
D. Để tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận.
29. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0. Phát biểu nào sau đây về nghiệm của hệ là đúng?
A. Hệ luôn vô nghiệm.
B. Hệ luôn có nghiệm duy nhất.
C. Hệ luôn có ít nhất một nghiệm là nghiệm tầm thường.
D. Số nghiệm của hệ phụ thuộc vào vế phải b.
30. Ứng dụng của phân tích giá trị сингулярное (SVD) là gì?
A. Giải hệ phương trình tuyến tính.
B. Tính định thức của ma trận.
C. Nén dữ liệu, giảm chiều dữ liệu, hệ thống gợi ý.
D. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng.
