1. Trong phân tích trị riêng (eigen-decomposition), một ma trận vuông A có thể phân tích thành P D P⁻¹ khi nào?
A. Luôn luôn.
B. Khi và chỉ khi A là ma trận khả nghịch.
C. Khi và chỉ khi A có đủ số lượng vectơ riêng độc lập tuyến tính.
D. Khi và chỉ khi A là ma trận đối xứng.
2. Cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0 là:
A. Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ.
B. Một tập hợp sinh của không gian nghiệm.
C. Một tập hợp độc lập tuyến tính của không gian nghiệm.
D. Một tập hợp độc lập tuyến tính sinh ra không gian nghiệm.
3. Hạng của ma trận là:
A. Số hàng của ma trận.
B. Số cột của ma trận.
C. Số chiều của không gian hàng (hoặc không gian cột).
D. Số phần tử khác 0 của ma trận.
4. Cho hai ma trận A và B cùng cấp. Khi nào thì (A + B)² = A² + 2AB + B² ?
A. Luôn đúng với mọi ma trận A, B.
B. Chỉ đúng khi A = B.
C. Chỉ đúng khi AB = BA.
D. Không bao giờ đúng.
5. Định lý Cayley-Hamilton phát biểu rằng:
A. Mọi ma trận vuông đều khả nghịch.
B. Mọi ma trận vuông đều thỏa mãn đa thức đặc trưng của chính nó.
C. Định thức của ma trận bằng tích các giá trị riêng của nó.
D. Vết của ma trận bằng tổng các giá trị riêng của nó.
6. Trong không gian vectơ, một tập hợp các vectơ được gọi là độc lập tuyến tính nếu:
A. Một vectơ trong tập hợp có thể biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại.
B. Tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vectơ không chỉ khi tất cả các hệ số đều bằng 0.
C. Tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vectơ không với ít nhất một hệ số khác 0.
D. Tập hợp chứa vectơ không.
7. Cho ma trận A và vectơ b. Hệ phương trình Ax = b có nghiệm khi và chỉ khi:
A. Ma trận A khả nghịch.
B. Hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung [A|b].
C. Số hàng của A bằng số cột của A.
D. det(A) ≠ 0.
8. Phép biến đổi tuyến tính T: V → W là toàn ánh khi và chỉ khi:
A. ker(T) = {0}.
B. im(T) = W.
C. dim(V) = dim(W).
D. T là đơn ánh.
9. Ma trận đường chéo là ma trận vuông mà:
A. Tất cả các phần tử đều khác 0.
B. Tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng 1.
C. Tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0.
D. Tất cả các phần tử đều bằng 0.
10. Cho ma trận A vuông cấp n. Định thức của ma trận kA (với k là một số vô hướng) bằng:
A. k * det(A).
B. kⁿ * det(A).
C. det(A)ⁿ.
D. det(A) / k.
11. Ứng dụng của đại số tuyến tính trong lĩnh vực đồ họa máy tính là:
A. Mã hóa và giải mã thông tin.
B. Xử lý tín hiệu và âm thanh.
C. Biến đổi hình học (xoay, tịnh tiến, co giãn) các đối tượng 2D và 3D.
D. Dự báo thời tiết.
12. Tính chất nào sau đây KHÔNG phải là tính chất của định thức?
A. det(Aᵀ) = det(A).
B. det(A + B) = det(A) + det(B).
C. det(AB) = det(A)det(B).
D. Nếu A có hai hàng (hoặc cột) giống nhau thì det(A) = 0.
13. Phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận KHÔNG làm thay đổi:
A. Định thức của ma trận.
B. Không gian cột của ma trận.
C. Không gian hàng của ma trận.
D. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tương ứng.
14. Trong không gian R², tích vô hướng của hai vectơ u = (u₁, u₂) và v = (v₁, v₂) được tính bằng:
A. u₁v₁ + u₂v₂.
B. u₁v₂ - u₂v₁.
C. √(u₁² + u₂²) * √(v₁² + v₂²).
D. |u₁v₁ + u₂v₂|.
15. Ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi:
A. Định thức của nó bằng 0.
B. Các hàng của nó phụ thuộc tuyến tính.
C. Các cột của nó độc lập tuyến tính.
D. Nó có ít nhất một phần tử bằng 0.
16. Không gian sinh bởi một tập hợp các vectơ là:
A. Tập hợp hữu hạn các vectơ đó.
B. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ đó.
C. Tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính trong tập hợp đó.
D. Tập hợp các vectơ trực giao trong tập hợp đó.
17. Phép biến đổi tuyến tính T: R² → R² được gọi là phép chiếu vuông góc lên trục Ox khi:
A. T(x, y) = (0, y).
B. T(x, y) = (x, 0).
C. T(x, y) = (y, x).
D. T(x, y) = (-x, y).
18. Định thức của tích hai ma trận vuông cùng cấp bằng:
A. Tổng định thức của hai ma trận.
B. Tích định thức của hai ma trận.
C. Hiệu định thức của hai ma trận.
D. Thương định thức của hai ma trận.
19. Trong không gian vectơ R³, cặp vectơ nào sau đây là trực giao?
A. u = (1, 2, 3), v = (3, 2, 1).
B. u = (1, -1, 0), v = (1, 1, 1).
C. u = (2, -1, 1), v = (1, 2, 0).
D. u = (1, 0, -1), v = (1, 1, 1).
20. Trong không gian R³, tích có hướng của hai vectơ u và v là một vectơ:
A. Cùng phương với u và v.
B. Vuông góc với u nhưng không vuông góc với v.
C. Vuông góc với cả u và v.
D. Nằm trong mặt phẳng chứa u và v.
21. Phương pháp phân tích thành phần chính (PCA) sử dụng đại số tuyến tính để:
A. Tăng chiều dữ liệu.
B. Giảm chiều dữ liệu bằng cách tìm các thành phần chính.
C. Phân loại dữ liệu thành các nhóm.
D. Dự báo dữ liệu tương lai.
22. Phương pháp Gauss-Jordan được sử dụng để:
A. Tính định thức của ma trận.
B. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận.
C. Giải hệ phương trình tuyến tính và tìm ma trận nghịch đảo.
D. Phân tích ma trận thành tích các ma trận tam giác.
23. Không gian vectơ con của không gian vectơ V là:
A. Bất kỳ tập con nào của V.
B. Một tập con của V đóng kín với phép cộng vectơ và phép nhân với số vô hướng.
C. Một tập con của V chứa vectơ không.
D. Một tập con của V có số chiều nhỏ hơn chiều của V.
24. Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây là SAI?
A. Nếu det(A) ≠ 0 thì A khả nghịch.
B. Nếu A khả nghịch thì hệ Ax = b có nghiệm duy nhất với mọi b.
C. Nếu hệ Ax = 0 có nghiệm duy nhất thì det(A) ≠ 0.
D. Nếu det(A) = 0 thì hệ Ax = b vô nghiệm với mọi b.
25. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0, với A là ma trận vuông cấp n. Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi:
A. det(A) ≠ 0.
B. rank(A) = n.
C. rank(A) < n.
D. Hệ luôn có nghiệm không tầm thường.
26. Cho ma trận A. Ma trận chuyển vị của A (ký hiệu Aᵀ) được tạo ra bằng cách:
A. Thay đổi dấu của tất cả các phần tử của A.
B. Hoán đổi các hàng và cột của A.
C. Nhân tất cả các phần tử của A với -1.
D. Chia tất cả các phần tử của A cho 2.
27. Cho không gian vectơ V và W. Một ánh xạ tuyến tính T: V → W là đơn ánh khi và chỉ khi:
A. ker(T) = {0}.
B. im(T) = W.
C. dim(V) = dim(W).
D. T là toàn ánh.
28. Trong bài toán hồi quy tuyến tính, đại số tuyến tính được sử dụng để:
A. Phân loại dữ liệu.
B. Tìm đường thẳng (hoặc siêu phẳng) phù hợp nhất với dữ liệu.
C. Giảm chiều dữ liệu.
D. Phân cụm dữ liệu.
29. Vectơ riêng của ma trận vuông A ứng với giá trị riêng λ là:
A. Mọi vectơ x sao cho Ax = λx.
B. Vectơ không.
C. Vectơ x khác vectơ không sao cho Ax = λx.
D. Vectơ x sao cho Ax = 0.
30. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Các vectơ x khác 0 sao cho Ax = λx.
B. Các số vô hướng λ sao cho Ax = λx có nghiệm x khác 0.
C. Các nghiệm của phương trình det(A - λI) = 0.
D. Cả 2 và 3 đều đúng.
