1. Trong không gian vector R^3, cặp vector nào sau đây là trực giao?
A. u = (1, 2, 3), v = (3, 2, 1)
B. u = (2, -1, 4), v = (-2, 1, -4)
C. u = (1, -1, 2), v = (2, 2, 0)
D. u = (1, 0, -1), v = (1, 1, 1)
2. Phép biến đổi tuyến tính T: R^n -> R^m được biểu diễn bằng ma trận cỡ:
A. n x m
B. m x n
C. n x n
D. m x m
3. Để kiểm tra xem một tập hợp vector có phải là cơ sở của không gian vector V hay không, cần kiểm tra mấy điều kiện?
A. Một điều kiện (hệ sinh)
B. Hai điều kiện (hệ sinh và độc lập tuyến tính)
C. Ba điều kiện (hệ sinh, độc lập tuyến tính và chứa vector không)
D. Không cần điều kiện nào
4. Phương trình đặc trưng của ma trận A được sử dụng để tìm:
A. Định thức của A
B. Hạng của A
C. Giá trị riêng của A
D. Ma trận nghịch đảo của A
5. Tích vô hướng của hai vector u và v trong R^n được ký hiệu là u.v. Tính chất nào sau đây KHÔNG phải là tính chất của tích vô hướng?
A. u.v = v.u (tính giao hoán)
B. u.(v + w) = u.v + u.w (tính phân phối)
C. (cu).v = c(u.v) (tính tuyến tính với phép nhân vô hướng)
D. u.u = ||u|| (tích vô hướng của vector với chính nó bằng độ dài vector)
6. Hạng của ma trận chuyển vị A^T so với hạng của ma trận A:
A. hạng(A^T) > hạng(A)
B. hạng(A^T) < hạng(A)
C. hạng(A^T) = hạng(A)
D. Không có mối quan hệ
7. Cho T: V -> W là một ánh xạ tuyến tính. Ker(T) là:
A. Tập hợp các vector v thuộc V sao cho T(v) = 0
B. Tập hợp các vector w thuộc W sao cho T(v) = w với mọi v thuộc V
C. Tập hợp các vector v thuộc V sao cho T(v) ≠ 0
D. Tập hợp các vector w thuộc W sao cho T(v) = 0 với một số v thuộc V
8. Hạng của ma trận là:
A. Số dòng của ma trận
B. Số cột của ma trận
C. Số dòng hoặc cột khác không lớn nhất sau khi khử Gauss
D. Số dòng khác không sau khi khử Gauss
9. Tích của hai ma trận A và B (AB) xác định khi:
A. Số dòng của A bằng số dòng của B
B. Số cột của A bằng số cột của B
C. Số cột của A bằng số dòng của B
D. Số dòng của A bằng số cột của B
10. Trong không gian R^2, phép quay quanh gốc tọa độ một góc θ có ma trận biến đổi tuyến tính là:
A. [[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]]
B. [[-cos(θ), sin(θ)], [-sin(θ), -cos(θ)]]
C. [[sin(θ), cos(θ)], [cos(θ), -sin(θ)]]
D. [[cos(θ), sin(θ)], [-sin(θ), cos(θ)]]
11. Vector chỉ phương của đường thẳng trong không gian R^3 có thể được tìm bằng cách nào nếu biết hai điểm phân biệt A và B trên đường thẳng?
A. Lấy trung bình cộng tọa độ của A và B
B. Tính tích có hướng của vector OA và OB (O là gốc tọa độ)
C. Tính vector AB = B - A
D. Tính vector OA + OB
12. Phép biến đổi tuyến tính nào sau đây là phép chiếu vuông góc lên trục Ox trong không gian R^2?
A. T(x, y) = (0, y)
B. T(x, y) = (x, 0)
C. T(x, y) = (y, x)
D. T(x, y) = (x/2, y/2)
13. Ảnh của ánh xạ tuyến tính T: V -> W, ký hiệu Im(T) hoặc Range(T), là:
A. Tập hợp các vector v thuộc V sao cho T(v) thuộc W
B. Tập hợp các vector w thuộc W sao cho tồn tại v thuộc V để T(v) = w
C. Tập hợp các vector w thuộc W sao cho T(w) = v với một số v thuộc V
D. Tập hợp các vector v thuộc V sao cho T(v) = v
14. Không gian con của không gian vector V là:
A. Một tập con bất kỳ của V
B. Một tập con của V chứa vector không
C. Một tập con của V đóng kín đối với phép cộng vector và phép nhân với số vô hướng
D. Một tập con của V chỉ đóng kín đối với phép cộng vector
15. Cho ma trận A vuông cấp n. Định thức của ma trận 2A bằng:
A. 2det(A)
B. 2^n det(A)
C. det(A)^2
D. det(A)/2
16. Tính chất nào sau đây KHÔNG đúng về định thức?
A. det(A^T) = det(A)
B. det(AB) = det(A)det(B)
C. det(A + B) = det(A) + det(B)
D. Nếu A có hai dòng giống nhau thì det(A) = 0
17. Cho ma trận A và vector b. Để giải hệ phương trình AX = b bằng phương pháp khử Gauss, ta thực hiện:
A. Biến đổi sơ cấp trên cột ma trận [A|b]
B. Tính định thức của A
C. Biến đổi sơ cấp trên dòng ma trận [A|b] về dạng bậc thang
D. Tính ma trận nghịch đảo A^-1
18. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận KHÔNG bao gồm phép nào sau đây?
A. Hoán đổi hai dòng
B. Nhân một dòng với một số khác 0
C. Cộng một bội của một dòng vào dòng khác
D. Hoán đổi hai cột
19. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 luôn là:
A. Một tập hợp rỗng
B. Một vector
C. Một không gian con của không gian vector các cột
D. Một không gian con của không gian vector các dòng
20. Số chiều của không gian vector là:
A. Số vector trong không gian
B. Số vector trong hệ sinh của không gian
C. Số vector trong cơ sở của không gian
D. Số chiều hình học của không gian
21. Cơ sở của không gian vector V là:
A. Một hệ sinh của V
B. Một hệ độc lập tuyến tính của V
C. Một hệ sinh và độc lập tuyến tính của V
D. Một hệ vector bất kỳ của V
22. Vector riêng của ma trận A là vector v khác 0 thỏa mãn:
A. Av = 0
B. Av = λv với λ là một số vô hướng
C. Av = v
D. Av = v + c với c là một vector khác 0
23. Định thức của ma trận đơn vị cấp n bằng:
24. Ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu A^T, được tạo ra bằng cách:
A. Đổi chỗ các dòng của A
B. Đổi chỗ các cột của A
C. Đổi chỗ dòng thành cột và cột thành dòng của A
D. Nhân các phần tử của A với -1
25. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0. Hệ này luôn có nghiệm:
A. Duy nhất nghiệm tầm thường X = 0
B. Vô số nghiệm
C. Vô nghiệm
D. Ít nhất hai nghiệm
26. Giá trị riêng của ma trận tam giác là:
A. Các phần tử trên đường chéo chính
B. Tổng các phần tử trên đường chéo chính
C. Định thức của ma trận
D. Tích các phần tử trên đường chéo chính
27. Cho A là ma trận vuông. Điều kiện nào sau đây KHÔNG tương đương với việc A khả nghịch?
A. det(A) ≠ 0
B. Hệ AX = 0 chỉ có nghiệm tầm thường
C. Các cột của A độc lập tuyến tính
D. Hệ AX = b vô nghiệm với một số vector b
28. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi:
A. det(A) ≠ 0
B. det(A) = 0
C. A là ma trận đường chéo
D. A là ma trận tam giác trên
29. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = b. Hệ này có nghiệm duy nhất khi:
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0 và hạng(A) < hạng([A|b])
C. det(A) ≠ 0
D. hạng(A) < hạng([A|b])
30. Hệ vector {v1, v2, ..., vk} được gọi là độc lập tuyến tính nếu:
A. Tồn tại các hệ số c1, c2, ..., ck không đồng thời bằng 0 sao cho c1v1 + c2v2 + ... + ckvk = 0
B. Mọi hệ số c1, c2, ..., ck phải khác 0 để c1v1 + c2v2 + ... + ckvk = 0
C. Chỉ khi tất cả các hệ số c1, c2, ..., ck bằng 0 thì c1v1 + c2v2 + ... + ckvk = 0
D. c1v1 + c2v2 + ... + ckvk ≠ 0 với mọi hệ số c1, c2, ..., ck
