1. Tích phân suy rộng ∫_1^∞ (1/x^p) dx hội tụ khi:
A. p < 1
B. p ≤ 1
C. p > 1
D. p ≥ 1
2. Để chuyển tích phân kép từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực, ta thay dx dy bằng:
A. dr dθ
B. r dr dθ
C. r² dr dθ
D. dθ dr
3. Trong tích phân lặp ∫_0^1 ∫_y^1 f(x, y) dx dy, miền tích phân D được mô tả là:
A. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
B. 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1
C. y ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
D. 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1
4. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng?
A. x² + y² + z² = 9
B. x + y - 2z = 5
C. z = x² + y²
D. xy + yz + zx = 1
5. Trong tọa độ trụ, phương trình x² + y² = 9 biểu diễn:
A. Mặt phẳng
B. Đường tròn
C. Mặt trụ tròn
D. Khối trụ tròn
6. Giá trị của tích phân đường kín ∫_C (x² + y²) dx + (2xy) dy, với C là đường tròn x² + y² = 1, là:
7. Cho trường vector F(x, y, z) = (2x, -y, z²). Tính div F tại điểm (1, 2, 3).
8. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường trên đường cong kín và tích phân kép trên miền phẳng
B. Tích phân mặt và tích phân đường
C. Tích phân bội ba và tích phân mặt
D. Tích phân đường loại 1 và tích phân đường loại 2
9. Tích phân đường loại 2 ∫_C P dx + Q dy + R dz phụ thuộc vào:
A. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C
B. Hình dạng đường cong C
C. Tham số hóa của đường cong C
D. Cả điểm đầu, điểm cuối và hình dạng đường cong C
10. Tính tích phân đường loại 1 ∫_C (x + y) ds, với C là đoạn thẳng nối điểm A(0, 0) đến B(1, 1).
11. Đạo hàm riêng cấp hai ∂²f/∂x∂y của hàm số f(x, y) = xy² + e^(xy) là:
A. 2y + y²e^(xy)
B. 2x + xe^(xy)
C. 2y + xe^(xy) + xy²e^(xy)
D. 2y + xe^(xy) + y²e^(xy)
12. Cho trường vector F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)). Điều kiện để F là trường bảo toàn trong miền D là:
A. ∂P/∂x = ∂Q/∂y
B. ∂P/∂y = ∂Q/∂x
C. ∂P/∂x + ∂Q/∂y = 0
D. ∂P/∂y + ∂Q/∂x = 0
13. Để tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt z = 4 - x² - y² và mặt z = 0, ta dùng tích phân:
A. ∫∫_D (4 - x² - y²) dA, với D là hình tròn x² + y² ≤ 4
B. ∫∫_D (x² + y² - 4) dA, với D là hình tròn x² + y² ≤ 4
C. ∫∫_D (4 - x² - y²) dA, với D là hình vuông [-2, 2]x[-2, 2]
D. ∫∫_D (x² + y²) dA, với D là hình tròn x² + y² ≤ 4
14. Chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ c_n (x - a)^n hội tụ tại x = b và phân kỳ tại x = c. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. |b - a| < |c - a|
B. |b - a| > |c - a|
C. |b - a| = |c - a|
D. Không thể kết luận về mối quan hệ giữa |b - a| và |c - a|
15. Phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt cầu?
A. x + y + z = 1
B. x² + y² = 4
C. x² + y² + z² - 2x + 4y - 6z + 5 = 0
D. z = x² + y²
16. Cho hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
17. Cho hàm số f(x, y) = { (xy)/(x² + y²) nếu (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 nếu (x, y) = (0, 0) }. Hàm số này:
A. Liên tục tại (0, 0)
B. Không liên tục tại (0, 0)
C. Có đạo hàm riêng tại (0, 0) nhưng không liên tục
D. Liên tục và có đạo hàm riêng tại (0, 0)
18. Sai phân cấp hai của hàm f(x, y) được ký hiệu là d²f và được tính bằng:
A. f_xx dx² + 2f_xy dx dy + f_yy dy²
B. f_xx dx² + f_yy dy²
C. f_x dx + f_y dy
D. f_xx + f_yy
19. Hàm số f(x, y) = x² + y² có cực trị tại điểm (0, 0) là:
A. Cực đại
B. Cực tiểu
C. Không phải cực trị
D. Điểm yên ngựa
20. Chuỗi Taylor của hàm số f(x) = sin(x) tại x = 0 là:
A. ∑_(n=0)^∞ ((-1)^n x^(2n+1))/( (2n+1)! )
B. ∑_(n=0)^∞ ((-1)^n x^(2n))/( (2n)! )
C. ∑_(n=0)^∞ (x^n)/(n!)
D. ∑_(n=0)^∞ ((-1)^n x^n)/(n!)
21. Tích phân ∫_0^∞ e^(-x²) dx bằng:
A. π
B. √π
C. π/2
D. √π/2
22. Định lý Divergence (Gauss-Ostrogradsky) liên hệ giữa:
A. Thông lượng của trường vector qua mặt kín và tích phân bội ba của divergence trên miền giới hạn bởi mặt đó
B. Công của trường vector dọc theo đường cong kín và tích phân kép của curl trên miền giới hạn bởi đường cong đó
C. Tích phân mặt và tích phân đường
D. Tích phân bội ba và tích phân đường
23. Tính curl F của trường vector F(x, y, z) = (yz, xz, xy).
A. (x - x, y - y, z - z)
B. (x, y, z)
C. (0, 0, 0)
D. (1, 1, 1)
24. Cho chuỗi hàm số ∑_(n=1)^∞ (x^n)/n². Miền hội tụ của chuỗi hàm số này là:
A. (-1, 1)
B. [-1, 1)
C. (-1, 1]
D. [-1, 1]
25. Cho miền D giới hạn bởi y = x², y = √x. Tính diện tích miền D.
A. 1/2
B. 1/3
C. 1/4
D. 1/6
26. Trong không gian R³, tích phân nào sau đây biểu diễn thể tích của khối cầu bán kính R?
A. ∫_0^(2π) ∫_0^π ∫_0^R ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
B. ∫_0^(2π) ∫_0^π ∫_0^R ρ sin(φ) dρ dφ dθ
C. ∫_0^(2π) ∫_0^(π/2) ∫_0^R ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
D. ∫_0^(2π) ∫_0^π ∫_0^R ρ² cos(φ) dρ dφ dθ
27. Phương trình tiếp diện của mặt z = f(x, y) tại điểm (x₀, y₀, z₀) là:
A. z - z₀ = f_x(x₀, y₀)(x - x₀) + f_y(x₀, y₀)(y - y₀)
B. z - z₀ = f_x(x, y)(x - x₀) + f_y(x, y)(y - y₀)
C. z = f_x(x₀, y₀)(x - x₀) + f_y(x₀, y₀)(y - y₀)
D. z - z₀ = f_x(x₀, y₀)x + f_y(x₀, y₀)y
28. Đường cong C được tham số hóa bởi r(t) = (cos(t), sin(t), t), 0 ≤ t ≤ 2π. Độ dài của đường cong C là:
A. 2π
B. 2π√2
C. 4π
D. 4π√2
29. Trong tích phân bội ba ∫∫∫_V f(x, y, z) dV, để chuyển sang tọa độ trụ, ta thay dV bằng:
A. r dz dr dθ
B. r² dz dr dθ
C. dz dr dθ
D. r dz dθ dr
30. Cho hàm số f(x, y) = x² + y² - 4x + 6y + 13. Giá trị nhỏ nhất của f(x, y) là:
