1. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng?
A. x^2 + y^2 + z^2 = 1
B. x + 2y - z = 5
C. z = x^2 + y^2
D. x = t, y = 2t, z = 3t
2. Cho trường vectơ F(x, y, z) = (x, y, z). Tính divergence của trường vectơ này (div F).
3. Trong tọa độ trụ, biến nào tương ứng với góc quay quanh trục z?
4. Tính diện tích mặt của phần mặt paraboloid z = x^2 + y^2 nằm dưới mặt phẳng z = 1.
A. π(5√5 - 1)/6
B. π(5√5 + 1)/6
C. π(√5 - 1)/6
D. π(√5 + 1)/6
5. Tích phân mặt ∫∫_S F · dS tính lưu lượng (flux) của trường vectơ F qua mặt S. Lưu lượng này biểu diễn điều gì?
A. Tổng công thực hiện bởi trường F dọc theo biên của S
B. Tốc độ dòng chảy của trường F qua mặt S
C. Diện tích của mặt S
D. Độ dài đường biên của mặt S
6. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 dưới điều kiện ràng buộc x + y = 1.
A. Cực tiểu tại (1/2, 1/2)
B. Cực đại tại (1/2, 1/2)
C. Cực tiểu tại (1, 0)
D. Cực đại tại (1, 0)
7. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = x^3y^2 + e^(xy) theo biến x là:
A. 3x^2y^2 + ye^(xy)
B. 2x^3y + xe^(xy)
C. 3x^2y^2 + e^(xy)
D. x^3y^2 + ye^(xy)
8. Cho trường vectơ bảo toàn F. Tính chất nào sau đây là đúng?
A. curl F ≠ 0
B. div F = 0
C. Tích phân đường của F phụ thuộc vào đường đi
D. Tích phân đường của F dọc theo đường cong kín bằng 0
9. Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu:
A. Vectơ pháp tuyến của chúng song song
B. Vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc
C. Chúng có một đường thẳng chung
D. Chúng không có điểm chung
10. Trong hệ tọa độ cực, yếu tố diện tích dA được biểu diễn như thế nào?
A. dx dy
B. r dr dθ
C. dr dθ
D. r^2 dr dθ
11. Hàm số f(x, y) = xy có đạt cực trị địa phương tại điểm (0, 0) không?
A. Có, cực đại địa phương
B. Có, cực tiểu địa phương
C. Không, điểm yên ngựa
D. Không xác định
12. Phương trình tham số nào sau đây biểu diễn một đường thẳng đi qua điểm (1, 2, 3) và song song với vectơ (4, 5, -1)?
A. x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = 3 + 3t
B. x = 1 + 4t, y = 2 + 5t, z = 3 - t
C. x = 4 + t, y = 5 + 2t, z = -1 + 3t
D. x = 1 - 4t, y = 2 - 5t, z = 3 + t
13. Gradient của một hàm số vô hướng f(x, y, z) là một:
A. Số vô hướng
B. Vectơ
C. Ma trận
D. Hàm số vô hướng khác
14. Ứng dụng của tích phân bội ba trong vật lý là gì?
A. Tính diện tích bề mặt
B. Tính thể tích và khối lượng
C. Tính độ dài đường cong
D. Tính diện tích miền phẳng
15. Định lý Green liên hệ phép tích phân nào với nhau?
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân đường và tích phân bội hai
C. Tích phân mặt và tích phân bội ba
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
16. Tính tích phân bội ba ∫∫∫_V dV, với V là hình hộp chữ nhật 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3.
17. Tính tích phân đường loại 1 của hàm f(x, y) = x + y dọc theo đường cong C tham số hóa bởi r(t) = (cos(t), sin(t)), với 0 ≤ t ≤ π.
18. Giá trị của tích phân đường ∫_C (x^2 + y^2) ds, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1) là bao nhiêu?
A. √2/3
B. 2√2/3
C. √2
D. 2
19. Tích phân bội hai ∫∫_R f(x, y) dA biểu diễn điều gì về mặt hình học nếu f(x, y) ≥ 0 trên miền R?
A. Diện tích của miền R
B. Thể tích dưới bề mặt z = f(x, y) và trên miền R
C. Độ dài đường biên của miền R
D. Giá trị trung bình của hàm f trên miền R
20. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để hàm số f(x, y) đạt cực trị địa phương tại (x_0, y_0)?
A. ∇f(x_0, y_0) = 0
B. f_xx(x_0, y_0) > 0 và f_yy(x_0, y_0) > 0
C. f_xx(x_0, y_0) < 0 và f_yy(x_0, y_0) < 0
D. Định thức Hessian tại (x_0, y_0) dương
21. Đạo hàm của hàm vectơ r(t) = (t^2, sin(t), e^t) là:
A. (2t, cos(t), e^t)
B. (t, cos(t), e^t)
C. (2t, -cos(t), e^t)
D. (2, -sin(t), e^t)
22. Ma trận Jacobian của phép biến đổi từ tọa độ Descartes (x, y) sang tọa độ cực (r, θ) là ma trận nào?
A. [[cos(θ), -rsin(θ)], [sin(θ), rcos(θ)]]
B. [[cos(θ), sin(θ)], [-rsin(θ), rcos(θ)]]
C. [[cos(θ), sin(θ)], [-sin(θ), cos(θ)]]
D. [[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]]
23. Tính tích phân ∫_0^1 ∫_0^x xy dy dx.
A. 1/8
B. 1/6
C. 1/4
D. 1/2
24. Công thức Stokes liên hệ curl của trường vectơ F với:
A. Tích phân đường của F dọc theo biên của mặt S
B. Tích phân mặt của F qua mặt S
C. Divergence của F
D. Gradient của F
25. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (1, 1)
B. (0, 0)
C. (1, 0)
D. (0, 1)
26. Trong hệ tọa độ cầu, yếu tố thể tích dV được biểu diễn như thế nào?
A. dx dy dz
B. r dr dθ dz
C. ρ^2 sin(φ) dρ dφ dθ
D. ρ dρ dφ dθ
27. Tính curl của trường vectơ F(x, y, z) = (y, z, x).
A. (1, 1, 1)
B. (-1, -1, -1)
C. (0, 0, 0)
D. (i, j, k)
28. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ phép tích phân nào với nhau?
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân mặt và tích phân bội ba
C. Tích phân đường và tích phân bội ba
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
29. Cho hàm số f(x, y) = x^2 - y^2. Đường mức (level curve) f(x, y) = c là hình gì?
A. Đường tròn
B. Elip
C. Hyperbol
D. Parabol
30. Trong không gian Oxyz, phương trình x^2 + y^2 = 1 biểu diễn hình gì?
A. Đường tròn
B. Mặt cầu
C. Mặt trụ tròn
D. Mặt paraboloid
