1. Trong các phép biến đổi tọa độ, Jacobian của phép biến đổi từ tọa độ Descartes (x, y) sang tọa độ cực (r, θ) là:
A. r
B. 1/r
C. r^2
D. 1/r^2
2. Cho trường vectơ F(x, y, z) = (x, y, z). Tính div(F).
A. 3
B. x + y + z
C. (1, 1, 1)
D. 0
3. Tính tích phân đường ∫_C (x + y) ds, với C là đường tròn đơn vị x^2 + y^2 = 1.
4. Trong hệ tọa độ cầu, biến đổi nào sau đây là đúng?
A. x = ρsin(φ)cos(θ)
B. x = ρcos(φ)sin(θ)
C. x = ρsin(θ)cos(φ)
D. x = ρcos(θ)cos(φ)
5. Cho trường vectơ F(x, y) = (-y, x). Tính curl(F) tại điểm (1, 1).
A. 2
B. -2
C. (0, 0, 2)
D. (0, 0, -2)
6. Đường cong nào sau đây là giao tuyến của mặt cầu x^2 + y^2 + z^2 = 4 và mặt phẳng z = 1?
A. Đường tròn
B. Đường elip
C. Đường parabol
D. Đường hypebol
7. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân bội hai.
B. Tích phân mặt và tích phân bội ba.
C. Tích phân đường và tích phân mặt.
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba.
8. Trong các phép toán vectơ, phép toán nào KHÔNG phải là phép toán vi phân?
A. Gradient
B. Divergence
C. Curl
D. Tích vô hướng
9. Tìm gradient của hàm số f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 tại điểm (1, 2, 3).
A. (2, 4, 6)
B. (1, 2, 3)
C. (2x, 2y, 2z)
D. (14)
10. Cho hàm số f(x, y) = xy. Hướng mà hàm số tăng nhanh nhất tại điểm (1, 2) là:
A. (2, 1)
B. (1, 2)
C. (-2, -1)
D. (-1, -2)
11. Trong hệ tọa độ trụ, điểm có tọa độ Descartes (1, 1, 1) có tọa độ trụ là:
A. (√2, π/4, 1)
B. (√2, π/2, 1)
C. (2, π/4, 1)
D. (2, π/2, 1)
12. Trong các miền sau, miền nào KHÔNG phải là miền đơn giản loại 1?
A. D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}
B. D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}
C. D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≤ 1}
D. D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2x}
13. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ giữa:
A. Thông lượng của trường vectơ qua một mặt kín và tích phân bội ba của divergence trên miền bị bao bởi mặt đó.
B. Thông lượng của trường vectơ qua một mặt kín và tích phân bội hai của divergence trên miền bị bao bởi mặt đó.
C. Lưu thông của trường vectơ dọc theo một đường cong kín và tích phân bội hai của curl trên miền giới hạn bởi đường cong đó.
D. Lưu thông của trường vectơ dọc theo một đường cong kín và tích phân bội ba của curl trên miền giới hạn bởi đường cong đó.
14. Cho trường vectơ F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)). Điều kiện nào sau đây là ĐỦ để trường vectơ F là trườngGradient?
A. ∂P/∂y = ∂Q/∂x
B. ∂P/∂x = ∂Q/∂y
C. ∂P/∂x + ∂Q/∂y = 0
D. ∂P/∂y + ∂Q/∂x = 0
15. Mặt trụ elliptic có phương trình tổng quát là:
A. x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
B. x^2/a^2 + y^2/b^2 = z
C. x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1
D. x^2/a^2 + y^2/b^2 = c^2
16. Mặt bậc hai nào sau đây là mặt nón?
A. x^2 + y^2 + z^2 = 1
B. x^2 + y^2 - z^2 = 0
C. x^2 + y^2 - z^2 = 1
D. x^2 + y^2 + z = 0
17. Ứng dụng của tích phân mặt KHÔNG bao gồm:
A. Tính thông lượng của trường vectơ qua một mặt.
B. Tính diện tích bề mặt.
C. Tính khối lượng tâm của một mặt mỏng.
D. Tính công của lực dọc theo một đường cong.
18. Trong tích phân bội ba ở tọa độ cầu, yếu tố thể tích dV được biểu diễn là:
A. r dr dθ dz
B. ρ^2 sin(φ) dρ dφ dθ
C. ρ dρ dφ dθ
D. r dr dz dθ
19. Đạo hàm theo hướng của hàm số f(x, y) tại điểm (x0, y0) theo hướng vectơ đơn vị u cho biết:
A. Tốc độ thay đổi lớn nhất của hàm số tại điểm đó.
B. Tốc độ thay đổi của hàm số theo hướng vuông góc với u.
C. Tốc độ thay đổi của hàm số theo hướng u.
D. Giá trị của hàm số tại điểm (x0, y0).
20. Cho trường vô hướng f(x, y, z) = xyz. Tính Laplacian của f.
A. 0
B. x + y + z
C. 2(x + y + z)
D. xy + yz + zx
21. Tính tích phân đường loại 2 của trường vectơ F(x, y) = (y, x) dọc theo đường cong C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).
22. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt.
B. Tích phân mặt và tích phân bội ba.
C. Tích phân đường và tích phân bội hai.
D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba.
23. Điều kiện nào sau đây là ĐỦ để hàm số f(x, y) có cực đại địa phương tại điểm (x0, y0)?
A. f_x(x0, y0) = 0 và f_y(x0, y0) = 0
B. f_xx(x0, y0) < 0 và f_yy(x0, y0) < 0
C. f_x(x0, y0) = 0, f_y(x0, y0) = 0 và D(x0, y0) > 0, f_xx(x0, y0) < 0
D. f_x(x0, y0) = 0, f_y(x0, y0) = 0 và D(x0, y0) < 0
24. Trong các khẳng định sau về tích phân bội hai, khẳng định nào SAI?
A. Tích phân bội hai có thể dùng để tính thể tích dưới một mặt cong.
B. Tích phân bội hai có thể tính được trên miền không giới nội.
C. Tích phân bội hai luôn tồn tại nếu hàm số liên tục trên miền lấy tích phân đóng và bị chặn.
D. Thứ tự lấy tích phân trong tích phân bội hai luôn không quan trọng.
25. Tính tích phân bội ba ∫∫∫_V dV, với V là hình hộp chữ nhật giới hạn bởi 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3.
26. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 trên miền D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≤ 1} là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. Không tồn tại
27. Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0)
B. (1, 1)
C. (-1, -1)
D. Không có điểm dừng
28. Ứng dụng nào sau đây KHÔNG phải là ứng dụng của tích phân đường?
A. Tính công của lực dọc theo một đường cong.
B. Tính lưu thông của trường vectơ dọc theo một đường cong kín.
C. Tính diện tích bề mặt.
D. Tính khối lượng của dây cong với mật độ thay đổi.
29. Trong không gian 3 chiều, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng?
A. x^2 + y^2 + z^2 = 9
B. x + 2y - z = 5
C. z = x^2 + y^2
D. x = t, y = 2t, z = 3t
30. Cho hàm số f(x, y) = x^2y + sin(xy). Tính đạo hàm riêng cấp hai ∂^2f/∂x∂y.
A. 2x + ycos(xy)
B. 2x + xcos(xy)
C. 2x + cos(xy) - xy sin(xy)
D. 2x + cos(xy) + xy cos(xy)
