1. Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục. Gradient của f tại điểm (x₀, y₀) là:
A. Một số thực
B. Một vector
C. Một hàm số
D. Một tập hợp
2. Trong tích phân bội ba ∫∫∫_V f(x, y, z) dV, dV trong tọa độ cầu được thay thế bằng:
A. r dr dθ dz
B. ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
C. r dr dz dθ
D. ρ dρ dφ dθ
3. Đường cong mức của hàm số f(x, y) = x² + y² là:
A. Đường thẳng
B. Đường tròn
C. Parabol
D. Hyperbol
4. Trong hệ tọa độ trụ, điểm có tọa độ Descartes (x, y, z) = (1, √3, 2) có tọa độ trụ (r, θ, z) là:
A. (2, π/3, 2)
B. (2, π/6, 2)
C. (√2, π/3, 2)
D. (√2, π/6, 2)
5. Trong tọa độ trụ, phương trình z = r² biểu diễn mặt nào?
A. Mặt phẳng
B. Mặt trụ
C. Mặt nón
D. Mặt paraboloid
6. Cho hàm số f(x, y) = x³y² + sin(x). Đạo hàm riêng cấp hai ∂²f/∂x∂y bằng:
A. 6xy
B. 6x²y
C. 2x³ + cos(x)
D. 3x²y² + cos(x)
7. Trong hệ tọa độ cầu, góc φ được đo từ trục:
A. Trục x
B. Trục y
C. Trục z
D. Mặt phẳng xy
8. Ma trận Jacobian của phép biến đổi từ tọa độ Descartes (x, y) sang tọa độ cực (r, θ) là ma trận vuông cấp:
A. 1x2
B. 2x1
C. 2x2
D. 3x3
9. Tích phân đường loại 2 ∫_C Pdx + Qdy phụ thuộc vào đường đi C khi nào?
A. Khi P_y = Q_x
B. Khi P_x = Q_y
C. Khi P_y ≠ Q_x
D. Luôn phụ thuộc vào đường đi C
10. Điều kiện để chuỗi số ∑_(n=1)^∞ a_n hội tụ là:
A. lim_(n→∞) a_n = 0
B. lim_(n→∞) a_n ≠ 0
C. Chuỗi các tổng riêng bị chặn
D. Chuỗi các tổng riêng hội tụ
11. Định lý Divergence (Gauss-Ostrogradsky) liên hệ giữa:
A. Thông lượng qua mặt kín và tích phân đường
B. Thông lượng qua mặt kín và tích phân kép
C. Thông lượng qua mặt kín và tích phân bội ba
D. Tích phân đường và tích phân bội ba
12. Tích phân mặt ∫∫_S F · n dS tính:
A. Công của trường vector F dọc theo mặt S
B. Thông lượng của trường vector F qua mặt S
C. Độ xoáy của trường vector F trên mặt S
D. Divergence của trường vector F tại các điểm trên mặt S
13. Cho hàm f(x, y) = x² - y². Điểm dừng của f là:
A. (1, 1)
B. (0, 0)
C. (1, 0)
D. (0, 1)
14. Cho mặt S là mặt cầu x² + y² + z² = 4. Vector pháp tuyến ngoài đơn vị tại điểm (1, 1, √2) trên S là:
A. (1/2, 1/2, √2/2)
B. (1/√3, 1/√3, 1/√3)
C. (1/2, 1/2, 1/2)
D. (1, 1, √2)
15. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = x + y trên miền D = {(x, y) | x² + y² ≤ 1} đạt được tại:
A. (1, 0)
B. (0, 1)
C. (1/√2, 1/√2)
D. (-1/√2, -1/√2)
16. Để tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt z = f(x, y) ≥ 0 và miền D trên mặt phẳng xy, ta sử dụng:
A. Tích phân đường
B. Tích phân kép
C. Tích phân mặt
D. Tích phân bội ba
17. Cho trường vector F(x, y, z) = (2x, 2y, 2z). Tính div(F) tại điểm (1, 2, 3).
18. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt
B. Tích phân đường và tích phân kép
C. Tích phân kép và tích phân bội ba
D. Tích phân mặt và tích phân bội ba
19. Để tính diện tích mặt z = g(x, y) trên miền D trong mặt phẳng xy, ta sử dụng công thức:
A. ∫∫_D √(1 + (∂g/∂x)² + (∂g/∂y)²) dA
B. ∫∫_D g(x, y) dA
C. ∫∫_D (∂g/∂x + ∂g/∂y) dA
D. ∫∫_D √((∂g/∂x)² + (∂g/∂y)²) dA
20. Cho hàm số f(x, y, z). Điều kiện cần để f đạt cực trị tại điểm (x₀, y₀, z₀) là:
A. ∇f(x₀, y₀, z₀) = 0
B. ∇²f(x₀, y₀, z₀) > 0
C. ∇²f(x₀, y₀, z₀) < 0
D. f(x₀, y₀, z₀) = 0
21. Miền lấy tích phân của tích phân lặp ∫₀¹ ∫₀ˣ f(x, y) dy dx là miền:
A. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
B. 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1
C. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
D. 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1
22. Cho trường vector F = (y, -x, z). Tính curl(F).
A. (0, 0, -2)
B. (0, 0, 2)
C. (2, -2, 0)
D. (-2, 2, 0)
23. Trong hệ tọa độ trụ, biến đổi nào là đúng khi chuyển từ Descartes?
A. x = r cos(θ), y = r sin(θ), z = r
B. x = r sin(θ), y = r cos(θ), z = z
C. x = r cos(θ), y = r sin(θ), z = z
D. x = r, y = θ, z = z
24. Định lý Stokes liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân kép
B. Tích phân đường và tích phân mặt
C. Tích phân mặt và tích phân bội ba
D. Tích phân kép và tích phân bội ba
25. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng?
A. x² + y² + z² = 9
B. x + 2y - z = 5
C. z = x² + y²
D. xy + yz + zx = 1
26. Cho hàm số f(x, y) = xy. Đạo hàm theo hướng của vector u = (1, 1) tại điểm (1, 2) là:
A. 3/√2
B. 3
C. √2
D. 2/√2
27. Công thức nào sau đây KHÔNG phải là một trong các công thức tích phân vector cơ bản?
A. Công thức Green
B. Định lý Stokes
C. Định lý Divergence
D. Công thức Taylor
28. Cho hàm số f(x, y) = e^(xy). Vi phân toàn phần df bằng:
A. e^(xy) dx + e^(xy) dy
B. ye^(xy) dx + xe^(xy) dy
C. xy e^(xy) dx + xy e^(xy) dy
D. e^(xy) (y dx + x dy)
29. Tích phân ∫₀^π ∫₀^(sinθ) r dr dθ biểu diễn:
A. Diện tích trong hệ tọa độ Descartes
B. Diện tích trong hệ tọa độ cực
C. Thể tích trong hệ tọa độ trụ
D. Thể tích trong hệ tọa độ cầu
30. Tích phân ∫_C (x² + y²) ds, với C là đoạn đường thẳng từ (0, 0) đến (1, 1), là tích phân loại:
A. Loại 1 theo độ dài cung
B. Loại 2 theo tọa độ
C. Loại 1 theo tọa độ
D. Loại 2 theo độ dài cung
