1. Hàm số f(x, y) = x² + y² có cực trị tại điểm nào sau đây?
A. (1, 1)
B. (1, 0)
C. (0, 1)
D. (0, 0)
2. Cho trường vectơ F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Điều kiện để F là trường vectơ bảo toàn là:
A. div F = 0
B. curl F = 0
C. ∇F = 0
D. F = 0
3. Tính tích phân ∫∫∫_E z dV, với E là khối giới hạn bởi mặt cầu x² + y² + z² = 1 và phía trên mặt phẳng xy (z ≥ 0).
4. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt paraboloid z = x² + y² và mặt phẳng z = 4.
5. Tính tích phân bội hai ∫∫_D (x + 2y) dA, với D là miền giới hạn bởi các đường y = x², y = x.
A. 1/12
B. 5/12
C. 7/12
D. 11/12
6. Trong không gian 3D, phương trình x² + y² = 4 biểu diễn mặt nào?
A. Mặt cầu
B. Mặt trụ tròn
C. Mặt nón
D. Mặt paraboloid
7. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (-1)^(n-1) / √n là chuỗi:
A. Hội tụ tuyệt đối
B. Phân kỳ
C. Hội tụ có điều kiện
D. Vừa hội tụ tuyệt đối vừa hội tụ có điều kiện
8. Tính diện tích mặt S được tham số hóa bởi r(u, v) = (u, v, u² + v²) với u² + v² ≤ 1.
A. π/6 (5√5 - 1)
B. π/3 (5√5 - 1)
C. π/2 (5√5 - 1)
D. π (5√5 - 1)
9. Cho hàm số f(x, y) = xe^(xy). Đạo hàm riêng cấp hai ∂²f/∂x∂y bằng:
A. e^(xy) + xye^(xy)
B. e^(xy) + xy²e^(xy)
C. e^(xy) + xye^(xy) + x²ye^(xy)
D. e^(xy) + 2xye^(xy) + x²y²e^(xy)
10. Để tính diện tích miền D trong mặt phẳng xy, ta có thể sử dụng tích phân nào sau đây?
A. ∫∫_D x dA
B. ∫∫_D y dA
C. ∫∫_D 1 dA
D. ∫∫_D (x + y) dA
11. Trong định lý Stokes, tích phân đường của trường vectơ F dọc theo biên ∂S của mặt S bằng:
A. ∫∫_S F · dS
B. ∫∫_S curl F · dS
C. ∫∫_S div F · dS
D. ∫∫_S ∇F · dS
12. Trong tọa độ trụ, Jacobian của phép biến đổi từ tọa độ Descartes (x, y, z) sang tọa độ trụ (r, θ, z) là:
A. r
B. r²
C. r sin θ
D. r cos θ
13. Cho mặt S là hình trụ x² + y² = 1, 0 ≤ z ≤ 2. Pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài của S trên mặt bên của hình trụ là:
A. (x, y, 0)
B. (x, y, z)
C. (x, y, 1)
D. (x, y, -z)
14. Cho hàm số f(x, y) = { (xy / (x² + y²), (x, y) ≠ (0, 0)), (0, (x, y) = (0, 0)) }. Hàm số này:
A. Liên tục tại (0, 0)
B. Không liên tục tại (0, 0)
C. Có đạo hàm riêng tại (0, 0) nhưng không liên tục
D. Liên tục và có đạo hàm riêng tại (0, 0)
15. Xét chuỗi hàm số ∑_(n=1)^∞ (x^n / n²). Miền hội tụ của chuỗi hàm số này là:
A. (-1, 1)
B. [-1, 1)
C. (-1, 1]
D. [-1, 1]
16. Cho trường vectơ F(x, y) = (-y, x). Tính curl F (toán tử xoáy của F) tại điểm (1, 1).
17. Công thức nào sau đây biểu diễn định lý Divergence?
A. ∫_(∂S) F · dr = ∫∫_S curl F · dS
B. ∫∫_S F · dS = ∫∫∫_V div F dV
C. ∫_C ∇f · dr = f(B) - f(A)
D. ∫∫_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∫_(∂D) P dx + Q dy
18. Chuỗi Taylor của hàm số f(x) = e^x tại a = 0 là:
A. ∑_(n=0)^∞ x^n / n!
B. ∑_(n=0)^∞ x^n / (2n)!
C. ∑_(n=0)^∞ (-1)^n x^n / n!
D. ∑_(n=0)^∞ (-1)^n x^(2n) / (2n)!
19. Tính tích phân đường ∫_C (x² + y²) ds, với C là đoạn đường thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).
A. 2√2 / 3
B. √2 / 3
C. 4√2 / 3
D. 5√2 / 3
20. Trong tọa độ trụ, điểm có tọa độ Descartes (x, y, z) = (1, √3, 2) có tọa độ trụ (r, θ, z) là:
A. (2, π/3, 2)
B. (2, π/6, 2)
C. (4, π/3, 2)
D. (4, π/6, 2)
21. Khẳng định nào sau đây về sự hội tụ đều của chuỗi hàm số là đúng?
A. Nếu chuỗi hội tụ đều, thì nó hội tụ pointwise
B. Nếu chuỗi hội tụ pointwise, thì nó hội tụ đều
C. Hội tụ đều và hội tụ pointwise là tương đương
D. Không có mối quan hệ giữa hội tụ đều và hội tụ pointwise
22. Tích phân đường loại hai ∫_C P dx + Q dy + R dz phụ thuộc vào:
A. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C
B. Hình dạng đường cong C
C. Hướng của đường cong C
D. Cả hình dạng và hướng của đường cong C
23. Cho trường vectơ F(x, y, z) = (2x, -3y, z²). Tính div F (độ phân kỳ của F).
A. 2 - 3 + 2z
B. 2 - 3 + z²
C. 2x - 3y + 2z
D. 2x - 3y + z²
24. Chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ c_n (x-a)^n hội tụ tại x = b và phân kỳ tại x = c. Điều nào sau đây chắc chắn đúng?
A. |b - a| < |c - a|
B. |b - a| > |c - a|
C. |b - a| = |c - a|
D. Không có kết luận nào chắc chắn
25. Tính tích phân mặt ∫∫_S F · dS, với F = (x, y, z) và S là mặt cầu x² + y² + z² = 1 hướng ra ngoài.
26. Cho hàm số f(x, y) = sin(xy). Tính vi phân toàn phần df.
A. cos(xy) dx + cos(xy) dy
B. y cos(xy) dx + x cos(xy) dy
C. x cos(xy) dx + y cos(xy) dy
D. sin(xy) dx + sin(xy) dy
27. Trong không gian ba chiều, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt cầu có tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng 5?
A. x + y + z = 5
B. x² + y² + z² = 5
C. x² + y² + z² = 25
D. x + y + z = 25
28. Định lý Green liên hệ tích phân đường trên đường cong kín C với tích phân nào trên miền D được bao bởi C?
A. Tích phân đường loại hai
B. Tích phân mặt loại một
C. Tích phân mặt loại hai
D. Tích phân bội hai
29. Đường cong nào sau đây là đường cong tham số hóa của đường thẳng đi qua điểm (1, 2, 3) và song song với vectơ v = (2, -1, 1)?
A. r(t) = (1 + 2t, 2 - t, 3 + t)
B. r(t) = (2 + t, -1 + 2t, 1 + 3t)
C. r(t) = (1 + t, 2 + 2t, 3 - t)
D. r(t) = (2 + 2t, -1 - t, 1 + t)
30. Mặt nào sau đây được biểu diễn bởi phương trình ρ = 2 trong tọa độ cầu?
A. Mặt phẳng
B. Đường thẳng
C. Mặt trụ
D. Mặt cầu
