1. Tích phân bội ba ∫∫∫_V dV tính đại lượng hình học nào của miền V?
A. Diện tích bề mặt của V
B. Thể tích của V
C. Chu vi của V
D. Độ dài đường biên của V
2. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây biểu diễn một đường thẳng?
A. x² + y² = 1
B. x = t, y = 2t, z = 3t
C. x + y + z = 1
D. z = x²
3. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng?
A. x² + y² + z² = 9
B. x + 2y - z = 5
C. z = x² + y²
D. x² + y² = 4
4. Công thức Green liên hệ tích phân đường trên đường cong kín C với tích phân mặt nào?
A. Tích phân mặt trên mặt S bao quanh C
B. Tích phân kép trên miền D giới hạn bởi C
C. Tích phân bội ba trên khối V giới hạn bởi C
D. Tích phân đường khác trên C
5. Trong tọa độ cầu, điểm (x, y, z) được biểu diễn thành (ρ, θ, φ) với ρ, θ, φ liên hệ với x, y, z như thế nào?
A. x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ
B. x = ρ cos φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ sin φ
C. x = ρ sin θ cos φ, y = ρ sin θ sin φ, z = ρ cos θ
D. x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z = ρ φ
6. Công thức Stokes liên hệ tích phân đường trên đường cong kín C với tích phân mặt nào?
A. Tích phân mặt của trường vectơ trên mặt S giới hạn bởi C
B. Tích phân mặt của curl của trường vectơ trên mặt S giới hạn bởi C
C. Tích phân kép trên miền D giới hạn bởi C
D. Tích phân bội ba trên khối V giới hạn bởi C
7. Trong tích phân kép ∫∫_D f(x, y) dA, dA biểu thị điều gì?
A. Độ dài cung
B. Diện tích phần tử
C. Thể tích phần tử
D. Góc phần tử
8. Tích phân mặt ∫∫_S f(x, y, z) dS tính đại lượng hình học nào của mặt S nếu f(x, y, z) = 1?
A. Thể tích khối giới hạn bởi S
B. Diện tích bề mặt S
C. Chu vi đường biên của S
D. Độ dài đường cong trên S
9. Cho hàm số f(x, y) = x² - y². Điểm (0, 0) là điểm gì của f?
A. Cực đại
B. Cực tiểu
C. Điểm yên ngựa
D. Không xác định
10. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1) và f(x, y) = x + y, được tính bằng công thức nào?
A. ∫_0^1 (t + t) dt
B. ∫_0^1 (t + t) √2 dt
C. ∫_0^1 (x + y) dx
D. ∫_0^1 (x + y) dy
11. Hàm số f(x, y) = x² + y² có cực trị tại điểm (0, 0) là cực trị gì?
A. Cực đại
B. Cực tiểu
C. Không phải cực trị
D. Điểm yên ngựa
12. Cho hàm số f(x, y, z) = xyz. Gradient của f là:
A. (yz, xz, xy)
B. (x, y, z)
C. (yz + xz + xy)
D. (1, 1, 1)
13. Cho trường vectơ F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Divergence của F, ký hiệu div F, được tính bằng công thức nào?
A. ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z
B. ∂P/∂x + ∂Q/∂y - ∂R/∂z
C. ∂P/∂x - ∂Q/∂y + ∂R/∂z
D. ∂P/∂x - ∂Q/∂y - ∂R/∂z
14. Trong tọa độ trụ, điểm (x, y, z) được biểu diễn thành (r, θ, z) với r, θ, z liên hệ với x, y, z như thế nào?
A. x = r cos θ, y = r sin θ, z = z
B. x = r sin θ, y = r cos θ, z = z
C. x = r cos θ, y = r sin θ, z = r
D. x = r, y = θ, z = z
15. Cho trường vectơ F(x, y) = (-y, x). Tính curl F trong không gian 2D.
16. Trong tích phân bội ba tọa độ cầu, yếu tố thể tích dV được biểu diễn là:
A. ρ² sin φ dρ dθ dφ
B. ρ² cos φ dρ dθ dφ
C. ρ sin φ dρ dθ dφ
D. ρ dρ dθ dφ
17. Cho hàm số f(x, y) = e^(x² + y²). Gradient của f tại điểm (1, 0) là:
A. (2e, 0)
B. (2e, 2e)
C. (0, 2e)
D. (e, 0)
18. Jacobian của phép biến đổi từ tọa độ cực (r, θ) sang tọa độ Descartes (x, y) là gì?
A. r
B. r²
C. 1/r
D. 1/r²
19. Đường cong mức của hàm số f(x, y) = x² + y² là họ đường cong nào?
A. Đường thẳng
B. Đường tròn
C. Parabol
D. Hyperbol
20. Phương trình tiếp tuyến với đường cong r(t) = (t², t³) tại t = 1 là:
A. r(u) = (1, 1) + u(2, 3)
B. r(u) = (1, 1) + u(1, 1)
C. r(u) = (2, 3) + u(1, 1)
D. r(u) = (t², t³) + u(2t, 3t²)
21. Mặt trụ trong không gian Oxyz có phương trình dạng nào?
A. x² + y² = R²
B. x² + y² + z² = R²
C. z = x² + y²
D. x + y = R
22. Vectơ pháp tuyến của mặt cong z = f(x, y) tại điểm (x₀, y₀, f(x₀, y₀)) là vectơ nào sau đây?
A. (∂f/∂x, ∂f/∂y, -1)
B. (-∂f/∂x, -∂f/∂y, 1)
C. (∂f/∂x, -∂f/∂y, 1)
D. (-∂f/∂x, ∂f/∂y, -1)
23. Cho hàm số f(x, y) = x³y² + xy. Đạo hàm riêng cấp một của f theo x là:
A. 3x²y² + y
B. 2x³y + x
C. 3x² + 2y
D. 3x²y + y
24. Điều kiện cần để hàm số f(x, y) đạt cực trị tại (x₀, y₀) là gì?
A. ∇f(x₀, y₀) = (0, 0)
B. det(Hessian f(x₀, y₀)) > 0
C. f_xx(x₀, y₀) > 0 và f_yy(x₀, y₀) > 0
D. f_xy(x₀, y₀) = 0
25. Tích phân đường loại 2 ∫_C F · dr biểu diễn đại lượng vật lý nào nếu F là trường lực?
A. Công của lực F dọc theo đường cong C
B. Lưu lượng của lực F qua đường cong C
C. Thế năng của lực F tại điểm cuối của C
D. Động năng của lực F dọc theo đường cong C
26. Hàm số f(x, y) = xy có điểm dừng tại điểm nào?
A. (0, 0)
B. (1, 1)
C. (1, 0)
D. (0, 1)
27. Trong tích phân kép đổi sang tọa độ cực, miền D được cho bởi 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π/2. Miền D này là phần nào của mặt phẳng xy?
A. Hình tròn bán kính 2
B. Nửa hình tròn bán kính 2
C. 1/4 hình tròn bán kính 2 ở góc phần tư thứ nhất
D. Hình quạt tròn
28. Điều kiện để tích phân đường ∫_C P dx + Q dy không phụ thuộc vào đường đi C là gì?
A. ∂P/∂y = ∂Q/∂x
B. ∂P/∂x = ∂Q/∂y
C. P = Q
D. P + Q = 0
29. Miền lấy tích phân trong tích phân lặp ∫_0^1 ∫_0^x f(x, y) dy dx được mô tả bởi bất đẳng thức nào?
A. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
B. 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1
C. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
D. 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1
30. Tính chất nào sau đây là đúng về trường vectơ bảo toàn?
A. Curl của trường vectơ bằng vectơ không
B. Divergence của trường vectơ bằng không
C. Tích phân đường phụ thuộc vào đường đi
D. Công thực hiện bởi trường vectơ phụ thuộc vào vận tốc
