Đề thi, bài tập trắc nghiệm online Giải tích 3 – Đề 2

1. Tích phân ∫∫_D e^(x²+y²) dA, với D là hình tròn x² + y² ≤ R², trong tọa độ cực bằng:

A. ∫(0 đến 2π) ∫(0 đến R) re^(r²) dr dθ

B. ∫(0 đến 2π) ∫(0 đến R) e^(r²) dr dθ

C. ∫(0 đến π) ∫(0 đến R) re^(r²) dr dθ

D. ∫(0 đến π/2) ∫(0 đến R) re^(r²) dr dθ

2. Điều kiện để trường vectơ F = (P, Q) là trường bảo toàn là:

A. ∂Q/∂x = ∂P/∂y

B. ∂P/∂x = ∂Q/∂y

C. ∂P/∂x + ∂Q/∂y = 0

D. ∂P/∂y + ∂Q/∂x = 1

3. Tính tích phân bội ba ∫∫∫_V dV trong tọa độ cầu, với V là hình cầu có bán kính R.

A. (4/3)πR³

B. πR³

C. (2/3)πR³

D. (1/3)πR³

4. Công thức Stokes liên hệ tích phân đường với:

A. Tích phân mặt

B. Tích phân kép

C. Tích phân bội ba

D. Đạo hàm riêng

5. Công thức nào sau đây không phải là một trong các định lý tích phân vectơ cơ bản?

A. Định lý Pythagoras

B. Định lý Green

C. Định lý Stokes

D. Định lý Divergence

6. Tích phân lặp ∫(0 đến 1) ∫(0 đến x) xy dy dx bằng:

A. 1/8

B. 1/6

C. 1/4

D. 1/2

7. Hàm số f(x, y) = x² + y² có điểm dừng tại:

A. (0, 0)

B. (1, 1)

C. (1, 0)

D. (0, 1)

8. Định lý Green liên hệ tích phân đường với:

A. Tích phân kép

B. Tích phân bội ba

C. Đạo hàm riêng

D. Gradient

9. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng?

A. x² + y² + z² = 9

B. x + y - 2z = 5

C. z = x² + y²

D. x = t, y = 2t, z = 3t

10. Tích phân đường loại 2 ∫_C P dx + Q dy phụ thuộc vào:

A. Hướng của đường cong C

B. Điểm đầu và điểm cuối của C

C. Tham số hóa của C

D. Diện tích miền giới hạn bởi C

11. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong tham số x = t - sin(t), y = 1 - cos(t) và trục Ox từ t = 0 đến t = 2π là:

A. 3π

B. 2π

C. π

D. 4π

12. Trong tọa độ cầu, góc φ được đo từ trục nào?

A. Trục Oz

B. Trục Ox

C. Trục Oy

D. Mặt phẳng Oxy

13. Đạo hàm riêng của hàm f(x, y) = x³y² + e^(xy) theo biến x là:

A. 3x²y² + ye^(xy)

B. 2x³y + xe^(xy)

C. 3x²y² + e^(xy)

D. x³y² + ye^(xy)

14. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để hàm số f(x, y) đạt cực trị tại điểm (x₀, y₀)?

A. ∇f(x₀, y₀) = (0, 0)

B. f_xx(x₀, y₀) > 0 và f_yy(x₀, y₀) > 0

C. f_xx(x₀, y₀)f_yy(x₀, y₀) - [f_xy(x₀, y₀)]² > 0

D. f_xx(x₀, y₀) < 0 và f_yy(x₀, y₀) < 0

15. Hàm số f(x, y) = xy/(x² + y²) khi (x, y) ≠ (0, 0) và f(0, 0) = 0 có liên tục tại (0, 0) không?

A. Có

B. Không

C. Liên tục theo x nhưng không liên tục theo y

D. Liên tục theo y nhưng không liên tục theo x

16. Trong tọa độ trụ, yếu tố thể tích dV được biểu diễn như thế nào?

A. r dz dr dθ

B. r² sinφ dr dθ dφ

C. dx dy dz

D. dr dθ dz

17. Phương trình tiếp tuyến của đường cong r(t) tại điểm t = t₀ được xác định bởi vectơ nào?

A. r'(t₀)

B. r(t₀)

C. ∫r(t) dt

D. ∇f(r(t₀))

18. Ứng dụng của tích phân bội ba trong vật lý là gì?

A. Tính thể tích và khối lượng

B. Tính diện tích bề mặt

C. Tính độ dài đường cong

D. Tính đạo hàm

19. Cho hàm số f(x, y) = x² + 2y². Xét điểm dừng (0, 0). Điểm này là:

A. Điểm cực tiểu địa phương

B. Điểm cực đại địa phương

C. Điểm yên ngựa

D. Không phải điểm cực trị

20. Trong tọa độ cực, Jacobian của phép biến đổi từ (r, θ) sang (x, y) là:

A. r

B. r²

C. 1/r

D. 1/r²

21. Tìm gradient của hàm số f(x, y, z) = x²yz + xy²z + xyz² tại điểm (1, 1, 1).

A. (4, 4, 4)

B. (3, 3, 3)

C. (2, 2, 2)

D. (1, 1, 1)

22. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ tích phân mặt với:

A. Tích phân bội ba

B. Tích phân đường

C. Tích phân kép

D. Đạo hàm riêng

23. Tính tích phân đường loại 1 của hàm f(x, y) = xy dọc theo đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).

A. 1/2

B. 1/3

C. 1/4

D. 1/6

24. Để tính diện tích mặt cong z = f(x, y) trên miền D, ta sử dụng công thức nào?

A. ∬_D √(1 + (∂f/∂x)² + (∂f/∂y)²) dA

B. ∬_D (∂f/∂x + ∂f/∂y) dA

C. ∬_D |∂f/∂x ∂f/∂y| dA

D. ∬_D (f(x, y)) dA

25. Cho trường vectơ F(x, y) = (-y, x). Tính curl(F) tại điểm bất kỳ.

A. 2

B. 0

C. -2

D. 1

26. Giá trị của tích phân đường ∫_C (x² + y²) ds, với C là đường tròn đơn vị x² + y² = 1 là:

A. 2π

B. π

C. 4π

D. 0

27. Hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy có bao nhiêu điểm dừng?

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

28. Giá trị lớn nhất của hàm f(x, y) = x + y trên miền D = {(x, y) | x² + y² ≤ 1} đạt được tại:

A. (1/√2, 1/√2)

B. (1, 0)

C. (0, 1)

D. (-1, -1)

29. Chuỗi Taylor của hàm số f(x, y) tại điểm (a, b) là sự mở rộng của khái niệm nào từ Giải tích 1?

A. Đạo hàm

B. Tích phân

C. Chuỗi số

D. Chuỗi Taylor một biến

30. Điều kiện đủ để hàm số f(x, y) có cực đại địa phương tại (x₀, y₀) là:

A. ∇f(x₀, y₀) = (0, 0) và f_xx(x₀, y₀) 0

B. ∇f(x₀, y₀) = (0, 0) và f_xx(x₀, y₀) > 0 và D(x₀, y₀) > 0

C. ∇f(x₀, y₀) = (0, 0) và f_xx(x₀, y₀) < 0 và D(x₀, y₀) < 0

D. ∇f(x₀, y₀) ≠ (0, 0)