1. Đường cong C được tham số hóa bởi r(t) = (cos(t), sin(t), t) với 0 ≤ t ≤ 2π. Hình dạng của đường cong C là gì?
A. Đường tròn
B. Đường xoắn ốc
C. Đường thẳng
D. Elip
2. Cho trường vector F = (P, Q) trong mặt phẳng. Công thức nào sau đây biểu diễn curl (xoáy) của F trong không gian 2D?
A. ∂Q/∂x - ∂P/∂y
B. ∂P/∂x + ∂Q/∂y
C. ∂P/∂y - ∂Q/∂x
D. (∂P/∂x + ∂Q/∂y) / 2
3. Tính tích phân suy rộng ∫_(1)^(+∞) (1/x²) dx.
A. 1
B. 0
C. +∞
D. Không xác định
4. Cho hàm số f(x, y) = x² + y² - 2x - 4y + 5. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (1, 2)
B. (0, 0)
C. (2, 4)
D. (-1, -2)
5. Tích phân mặt ∫∫_S F · dS tính đại lượng vật lý nào khi F là trường vector vận tốc của chất lỏng?
A. Lưu lượng chất lỏng qua mặt S
B. Công của lực F dọc theo biên của S
C. Tổng khối lượng chất lỏng trong thể tích giới hạn bởi S
D. Áp suất trung bình trên mặt S
6. Ứng dụng của tích phân đường trong vật lý là gì?
A. Tính diện tích bề mặt
B. Tính công của lực dọc theo một đường cong
C. Tính thể tích vật rắn
D. Tính lưu lượng chất lỏng
7. Tính tích phân bội ba ∫∫∫_E dV, trong đó E là hình hộp chữ nhật [0, 1] × [1, 2] × [2, 3].
8. Trong tích phân bội ba tọa độ trụ, biến đổi z được thực hiện như thế nào so với tọa độ Descartes?
A. z = r cos(θ)
B. z = r sin(θ)
C. z = z
D. z = r²
9. Tích phân bội hai ∫∫_R f(x, y) dA biểu diễn điều gì?
A. Thể tích dưới bề mặt z = f(x, y) trên miền R.
B. Diện tích của miền R.
C. Độ dài đường biên của miền R.
D. Giá trị trung bình của f(x, y) trên R.
10. Tính tích phân đường loại 2 ∫_C (x dy - y dx) dọc theo đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ C: x² + y² = 1.
11. Ma trận Jacobian của phép biến đổi từ tọa độ cực (r, θ) sang tọa độ Descartes (x, y) là:
A. [[cos(θ), -rsin(θ)], [sin(θ), rcos(θ)]]
B. [[cos(θ), sin(θ)], [-rsin(θ), rcos(θ)]]
C. [[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]]
D. [[cos(θ), rsin(θ)], [sin(θ), -rcos(θ)]]
12. Để tính thể tích của một vật thể tròn xoay quanh trục x, phương pháp nào sau đây thường được sử dụng trong tích phân?
A. Phương pháp đĩa/vòng đệm
B. Phương pháp tích phân đường
C. Phương pháp tích phân mặt
D. Phương pháp tọa độ cầu
13. Trong tọa độ trụ, biểu thức dA tương ứng với yếu tố diện tích trong tọa độ Descartes dA = dx dy là gì?
A. r dr dθ
B. dr dθ
C. r² dr dθ
D. r dz dr dθ
14. Miền tích phân nào sau đây phù hợp để tính tích phân bội hai trên miền D giới hạn bởi y = x² và y = 2x?
A. ∫_(0)^(2) ∫_(x²)^(2x) dy dx
B. ∫_(0)^(4) ∫_(y/2)^(√y) dx dy
C. ∫_(0)^(2) ∫_(2x)^(x²) dy dx
D. ∫_(0)^(2) ∫_(0)^(2x) dy dx
15. Trong tọa độ cầu, biểu thức dV tương ứng với yếu tố thể tích trong tọa độ Descartes dV = dx dy dz là gì?
A. ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
B. ρ dρ dφ dθ
C. ρ² dρ dφ dθ
D. sin(φ) dρ dφ dθ
16. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) = x³y² + sin(xy) theo biến x là:
A. 3x²y² + ycos(xy)
B. 2x³y + xcos(xy)
C. 3x²y² + cos(xy)
D. x³y²cos(xy)
17. Tìm gradient của hàm số f(x, y, z) = x²yz + e^(xy).
A. (2xyz + ye^(xy), x²z + xe^(xy), x²y)
B. (2xyz, x²z, x²y)
C. (2x, y, z)
D. (yz, xz, xy)
18. Trong tích phân mặt loại 2 ∫∫_S F · dS, hướng của vector pháp tuyến n của mặt S được chọn như thế nào?
A. Luôn hướng ra ngoài mặt kín S
B. Luôn hướng vào trong mặt kín S
C. Tùy thuộc vào tham số hóa của mặt S
D. Hướng bất kỳ, không ảnh hưởng đến kết quả
19. Định lý Green liên hệ tích phân đường với tích phân nào?
A. Tích phân mặt
B. Tích phân bội hai
C. Tích phân bội ba
D. Tích phân suy rộng
20. Điều kiện nào sau đây đảm bảo một hàm số f(x, y) đạt cực đại cục bộ tại điểm (a, b)?
A. f_x(a, b) = 0, f_y(a, b) = 0 và D(a, b) > 0, f_xx(a, b) < 0
B. f_x(a, b) = 0, f_y(a, b) = 0 và D(a, b) > 0, f_xx(a, b) > 0
C. f_x(a, b) = 0, f_y(a, b) = 0 và D(a, b) < 0
D. f_x(a, b) = 0, f_y(a, b) = 0 và D(a, b) = 0
21. Cho hàm số f(x, y) = xy / (x² + y²) nếu (x, y) ≠ (0, 0) và f(0, 0) = 0. Hàm số này có liên tục tại (0, 0) không?
A. Có
B. Không
C. Liên tục theo x nhưng không liên tục theo y
D. Liên tục theo y nhưng không liên tục theo x
22. Hàm số f(x, y) = √(x² + y²) có khả vi tại điểm (0, 0) không?
A. Có
B. Không
C. Chỉ khả vi theo hướng x
D. Chỉ khả vi theo hướng y
23. Công thức nào sau đây là công thức tính diện tích mặt tham số S được cho bởi r(u, v)?
A. ∬_D ||r_u × r_v|| dA
B. ∬_D ||r_u + r_v|| dA
C. ∬_D (r_u · r_v) dA
D. ∬_D ||r(u, v)|| dA
24. Hình chiếu của đường cong giao tuyến giữa mặt trụ x² + y² = 4 và mặt phẳng z = x + y lên mặt phẳng xy là hình gì?
A. Đường thẳng
B. Đường tròn
C. Parabol
D. Elip
25. Trong định lý Stokes, tích phân đường ∫_C F · dr liên hệ với tích phân mặt nào?
A. ∫∫_S F · dS
B. ∫∫_S curl F · dS
C. ∫∫_S div F · dS
D. ∫∫_S grad f · dS
26. Cho trường vector F = (y, -x, z). Tính divergence của F.
27. Trong không gian ba chiều, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng?
A. x² + y² + z² = 9
B. x + 2y - z = 5
C. z = x² + y²
D. xy + yz + zx = 1
28. Giá trị của tích phân đường ∫_C f(x, y) ds phụ thuộc vào yếu tố nào sau đây?
A. Hướng của đường cong C
B. Tham số hóa của đường cong C
C. Độ dài của đường cong C
D. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C
29. Công thức nào sau đây là định lý Divergence (Gauss)?
A. ∫∫_S F · dS = ∫∫∫_E div F dV
B. ∫∫_S curl F · dS = ∫_C F · dr
C. ∫_C F · dr = ∫∫_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA
D. ∫_C f(x, y) ds = ∫_a^b f(r(t)) ||r`(t)|| dt
30. Điều kiện cần và đủ để một trường vector F là trường vector bảo toàn là gì?
A. curl F = 0
B. div F = 0
C. gradient F = 0
D. F là trường vector hằng
