1. Đạo hàm theo hướng của hàm số f(x, y) theo hướng vectơ đơn vị u tại điểm (x0, y0) được tính bằng công thức nào?
A. ∇f(x0, y0) · u
B. ||∇f(x0, y0)|| ||u||
C. ∇f(x0, y0) × u
D. ||∇f(x0, y0) × u||
2. Divergence của một trường vectơ F tại một điểm đo đại lượng nào sau đây?
A. Độ xoáy của trường vectơ tại điểm đó.
B. Mật độ thông lượng nguồn hoặc hố của trường vectơ tại điểm đó.
C. Độ lớn của trường vectơ tại điểm đó.
D. Hướng của trường vectơ tại điểm đó.
3. Định lý Stokes liên hệ tích phân nào với nhau?
A. Tích phân đường loại 2 trên đường cong kín C và tích phân mặt loại 2 trên mặt S có biên là C.
B. Tích phân đường loại 1 trên đường cong kín C và tích phân mặt loại 1 trên mặt S có biên là C.
C. Tích phân kép trên miền D và tích phân bội ba trên khối V chứa D.
D. Tích phân mặt trên mặt S và tích phân bội ba trên khối V chứa S.
4. Khi đổi thứ tự tích phân trong tích phân kép ∫_(a)^(b) ∫_(g1(x))^(g2(x)) f(x, y) dy dx, điều gì cần được thay đổi?
A. Chỉ cần đổi vị trí dx và dy.
B. Cần vẽ miền tích phân và xác định lại cận tích phân cho thứ tự mới.
C. Không cần thay đổi gì cả, kết quả vẫn không đổi.
D. Chỉ cần đổi dấu của tích phân.
5. Trong định lý phân kỳ (Divergence Theorem), tích phân mặt ∫∫_S F · dS được chuyển thành tích phân nào?
A. Tích phân đường trên biên của S.
B. Tích phân kép trên hình chiếu của S xuống mặt phẳng xy.
C. Tích phân bội ba trên khối V được bao bởi mặt kín S.
D. Tích phân mặt trên một mặt S` khác đồng dạng với S.
6. Công thức nào sau đây là công thức tính diện tích mặt tham số S được cho bởi r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))?
A. ∫∫_D ||r_u × r_v|| du dv
B. ∫∫_D ||r_u + r_v|| du dv
C. ∫∫_D (||r_u|| + ||r_v||) du dv
D. ∫∫_D ||r_u|| ||r_v|| du dv
7. Điều kiện nào sau đây đảm bảo sự tồn tại giới hạn của hàm số f(x, y) khi (x, y) → (x0, y0)?
A. Giới hạn của f(x, y) khi (x, y) → (x0, y0) theo mọi đường đều tồn tại và bằng nhau.
B. f(x, y) liên tục tại (x0, y0).
C. Các đạo hàm riêng của f(x, y) tồn tại tại (x0, y0).
D. f(x, y) xác định tại (x0, y0).
8. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để một trường vectơ F = (P, Q) trên miền D liên thông đơn là trường vectơ thế?
A. ∂P/∂y = ∂Q/∂x
B. ∂P/∂x = ∂Q/∂y
C. ∂P/∂x + ∂Q/∂y = 0
D. ∂P/∂y + ∂Q/∂x = 1
9. Curl của một trường vectơ F tại một điểm đo đại lượng nào sau đây?
A. Độ lớn của sự xoáy cục bộ của trường vectơ tại điểm đó.
B. Mật độ thông lượng nguồn hoặc hố của trường vectơ tại điểm đó.
C. Tốc độ thay đổi của trường vectơ tại điểm đó.
D. Hướng của trường vectơ tại điểm đó.
10. Tính chất tuyến tính của tích phân bội phát biểu rằng điều gì?
A. Tích phân của tổng bằng tổng các tích phân và hằng số nhân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân.
B. Tích phân của tích bằng tích các tích phân.
C. Tích phân của thương bằng thương các tích phân.
D. Tích phân của hàm hợp bằng hợp thành các tích phân.
11. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để chuỗi số ∑_(n=1)^∞ a_n hội tụ?
A. lim_(n→∞) a_n = 0
B. lim_(n→∞) a_n = 1
C. ∑_(n=1)^∞ |a_n| hội tụ
D. a_n > 0 với mọi n
12. Trong tích phân bội ba tọa độ cầu, yếu tố thể tích vi phân dV được thay thế bằng gì?
A. ρ^2 sin φ dρ dφ dθ
B. ρ sin φ dρ dφ dθ
C. ρ^2 cos φ dρ dφ dθ
D. ρ cos φ dρ dφ dθ
13. Tích phân mặt loại 1 ∫∫_S f(x, y, z) dS được sử dụng để tính đại lượng nào sau đây trên mặt S?
A. Thông lượng của trường vectơ qua mặt S.
B. Diện tích của mặt S.
C. Mômen quán tính của mặt S nếu f(x, y, z) là mật độ khối lượng.
D. Công của trường vectơ dọc theo biên của mặt S.
14. Bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ c_n(x-a)^n được xác định như thế nào?
A. R = lim_(n→∞) |c_n / c_(n+1)| (nếu giới hạn tồn tại)
B. R = lim_(n→∞) |c_(n+1) / c_n| (nếu giới hạn tồn tại)
C. R = lim_(n→∞) |c_n|^(1/n) (nếu giới hạn tồn tại)
D. R = lim_(n→∞) n|c_n| (nếu giới hạn tồn tại)
15. Tích phân đường loại 2 ∫_C P(x, y)dx + Q(x, y)dy phụ thuộc vào yếu tố nào sau đây?
A. Chỉ điểm đầu và điểm cuối của đường cong C.
B. Hình dạng cụ thể của đường cong C và hướng đi trên đường cong đó.
C. Giá trị của hàm số P(x, y) và Q(x, y) tại điểm đầu và điểm cuối của C.
D. Diện tích miền giới hạn bởi đường cong C.
16. Trong không gian hai chiều, đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) theo biến x tại một điểm (x0, y0) thể hiện điều gì về mặt hình học?
A. Độ dốc của tiếp tuyến với đường cong mức của f(x, y) tại (x0, y0).
B. Độ dốc của mặt tiếp xúc với bề mặt z = f(x, y) tại điểm (x0, y0, f(x0, y0)) theo hướng trục x.
C. Tốc độ thay đổi lớn nhất của hàm số f(x, y) tại điểm (x0, y0).
D. Góc giữa gradient của f(x, y) và trục x tại điểm (x0, y0).
17. Để tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường cong trong mặt phẳng xy, ta có thể sử dụng tích phân nào?
A. Tích phân đường loại 1 trên biên của D.
B. Tích phân đường loại 2 trên biên của D.
C. Tích phân kép ∫∫_D dA.
D. Tích phân bội ba ∫∫∫_V dV, với V là khối trụ có đáy D và chiều cao đơn vị.
18. Gradient của hàm số f(x, y, z) tại một điểm chỉ hướng nào?
A. Hướng mà hàm số giảm nhanh nhất.
B. Hướng mà hàm số không thay đổi.
C. Hướng mà hàm số tăng nhanh nhất.
D. Hướng vuông góc với bề mặt mức.
19. Phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để giải quyết loại bài toán tối ưu nào?
A. Tìm cực trị tự do của hàm nhiều biến.
B. Tìm cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến.
C. Tính tích phân bội trên miền phức tạp.
D. Giải phương trình vi phân.
20. Phương pháp nào sau đây thường được sử dụng để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số dương?
A. Tiêu chuẩn Leibniz
B. Tiêu chuẩn Dirichlet
C. Tiêu chuẩn so sánh
D. Tiêu chuẩn Abel
21. Trong tích phân kép tọa độ cực, yếu tố diện tích vi phân dA được thay thế bằng gì?
A. dr dθ
B. r dr dθ
C. r^2 dr dθ
D. r dθ dr
22. Để chuyển từ tọa độ Descartes (x, y) sang tọa độ cực (r, θ), ta sử dụng biến đổi nào?
A. x = r cos θ, y = r sin θ
B. x = r sin θ, y = r cos θ
C. r = x cos θ, θ = y sin θ
D. r = x sin θ, θ = y cos θ
23. Cho chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ c_n(x-a)^n. Tập hợp các giá trị x mà chuỗi này hội tụ được gọi là gì?
A. Miền hội tụ
B. Bán kính hội tụ
C. Tâm hội tụ
D. Chu vi hội tụ
24. Hàm số f(x, y) có cực đại địa phương tại (x0, y0) nếu điều kiện nào sau đây được thỏa mãn (sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm bậc hai)?
A. f_xx(x0, y0) > 0 và D = f_xx f_yy - (f_xy)^2 > 0
B. f_xx(x0, y0) < 0 và D = f_xx f_yy - (f_xy)^2 > 0
C. f_xx(x0, y0) > 0 và D = f_xx f_yy - (f_xy)^2 < 0
D. f_xx(x0, y0) < 0 và D = f_xx f_yy - (f_xy)^2 < 0
25. Trong định lý Green, mối liên hệ nào sau đây được thiết lập?
A. Giữa tích phân đường loại 1 trên đường cong kín C và tích phân kép trên miền D giới hạn bởi C.
B. Giữa tích phân đường loại 2 trên đường cong kín C và tích phân kép trên miền D giới hạn bởi C.
C. Giữa tích phân mặt trên mặt S và tích phân đường trên biên của S.
D. Giữa tích phân bội ba trên khối V và tích phân mặt trên biên của V.
26. Hàm số f(x, y) được gọi là khả vi tại (x0, y0) nếu điều gì xảy ra?
A. Các đạo hàm riêng ∂f/∂x và ∂f/∂y tồn tại tại (x0, y0).
B. f(x, y) liên tục tại (x0, y0).
C. Có một mặt phẳng tiếp xúc với đồ thị z = f(x, y) tại điểm (x0, y0, f(x0, y0)).
D. Δf = ∂f/∂x Δx + ∂f/∂y Δy + ε_1 Δx + ε_2 Δy, với ε_1, ε_2 → 0 khi (Δx, Δy) → (0, 0).
27. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là nghiệm của hệ phương trình nào?
A. ∂f/∂x = 0 và ∂f/∂y = 0
B. ∂^2f/∂x^2 = 0 và ∂^2f/∂y^2 = 0
C. ∂f/∂x = ∂f/∂y
D. f(x, y) = 0
28. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ a_n được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi nào sau đây hội tụ?
A. ∑_(n=1)^∞ a_n
B. ∑_(n=1)^∞ (a_n)^2
C. ∑_(n=1)^∞ |a_n|
D. ∑_(n=1)^∞ -a_n
29. Khái niệm `trường vectơ thế` (conservative vector field) liên quan đến tính chất nào sau đây?
A. Công của trường vectơ phụ thuộc vào đường đi.
B. Công của trường vectơ chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường đi.
C. Đường cong tích phân của trường vectơ luôn là đường thẳng.
D. Divergence của trường vectơ luôn bằng 0.
30. Để chuyển từ tọa độ Descartes (x, y, z) sang tọa độ trụ (r, θ, z), biến nào không thay đổi?
