1. Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a, x = b quanh trục Ox được tính bởi công thức nào?
A. ∫[a, b] f(x) dx
B. π∫[a, b] f(x) dx
C. ∫[a, b] [f(x)]^2 dx
D. π∫[a, b] [f(x)]^2 dx
2. Chuỗi Maclaurin là trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor tại điểm nào?
A. x = 1
B. x = -1
C. x = a
D. x = 0
3. Tích phân bội hai ∫∫_D 1 dA biểu diễn đại lượng hình học nào của miền D?
A. Chu vi miền D
B. Diện tích miền D
C. Thể tích miền D
D. Mômen quán tính miền D
4. Hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 có đạo hàm riêng theo x tại điểm (x, y) là:
A. 2y
B. 2x
C. 2x + 2y
D. 0
5. Phương trình vi phân y` = f(x, y) được gọi là phương trình vi phân đẳng cấp nếu hàm f(x, y) có tính chất nào sau đây?
A. f(tx, ty) = t f(x, y)
B. f(tx, ty) = f(x, y)
C. f(tx, ty) = t^2 f(x, y)
D. f(tx, ty) = t^0 f(x, y)
6. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tách biến?
A. y` + xy = x^2
B. y` = x + y
C. y` = xy
D. y` + y^2 = x
7. Khẳng định nào sau đây về tích phân suy rộng loại 1 là đúng?
A. Luôn hội tụ
B. Luôn phân kỳ
C. Có thể hội tụ hoặc phân kỳ
D. Chỉ hội tụ khi hàm số dương
8. Để chuyển tích phân kép từ tọa độ Descartes (x, y) sang tọa độ cực (r, θ), ta sử dụng biến đổi nào cho dA?
A. dA = dx dy
B. dA = dr dθ
C. dA = r dr dθ
D. dA = r^2 dr dθ
9. Tích phân ∫∫_D f(x, y) dA, với D là miền hình chữ nhật [a, b] × [c, d], có thể được tính bằng tích phân lặp nào sau đây?
A. ∫[a, b] ∫[c, d] f(x, y) dy dx
B. ∫[c, d] ∫[a, b] f(x, y) dx dy
C. Cả hai đáp án 1 và 2 đều đúng
D. Không đáp án nào đúng
10. Để tính tích phân ∫[0, ∞] e^(-x) dx, ta cần xét giới hạn nào sau đây?
A. lim[b→∞] ∫[0, b] e^(-x) dx
B. lim[b→0] ∫[b, ∞] e^(-x) dx
C. ∫[0, ∞] lim[b→∞] e^(-x) dx
D. ∫[0, ∞] e^(-lim[b→∞] x) dx
11. Tích phân suy rộng ∫[1, ∞] (1/x^p) dx hội tụ khi và chỉ khi giá trị nào của p?
A. p ≤ 1
B. p < 1
C. p ≥ 1
D. p > 1
12. Độ dài cung của đường cong y = f(x) từ x = a đến x = b được tính bởi công thức nào?
A. ∫[a, b] √(1 + [f`(x)]^2) dx
B. ∫[a, b] (1 + [f`(x)]^2) dx
C. ∫[a, b] √(1 + f`(x)) dx
D. ∫[a, b] |f`(x)| dx
13. Tính phân ∫ (1/(x^2 - 1)) dx bằng phương pháp phân tích thành phân thức hữu tỷ. Phân thức (1/(x^2 - 1)) được phân tích thành dạng nào?
A. A/(x-1) + B/(x+1)
B. A/(x-1)^2 + B/(x+1)^2
C. A/(x-1) + B/(x-1)^2
D. A/(x+1) + B/(x+1)^2
14. Tích phân ∫ e^(x^2) 2x dx bằng bao nhiêu?
A. e^(x^2) + C
B. e^x + C
C. (e^(x^2))^2 + C
D. x^2 e^(x^2) + C
15. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] a_n được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi nào sau đây hội tụ?
A. ∑[n=1, ∞] a_n
B. ∑[n=1, ∞] |a_n|
C. ∑[n=1, ∞] (a_n)^2
D. ∑[n=1, ∞] -a_n
16. Công thức nào sau đây là công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (với f(x) ≥ 0 trên [a, b])?
A. ∫[a, b] f(x) dx
B. |∫[a, b] f(x) dx|
C. ∫[a, b] |f(x)| dx
D. π∫[a, b] [f(x)]^2 dx
17. Điều kiện nào sau đây là **đủ** để chuỗi số dương ∑[n=1, ∞] a_n hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh?
A. a_n ≥ b_n và ∑b_n hội tụ
B. a_n ≤ b_n và ∑b_n hội tụ
C. a_n ≥ b_n và ∑b_n phân kỳ
D. a_n ≤ b_n và ∑b_n phân kỳ
18. Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange được dùng để tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân nào?
A. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
B. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
C. Phương trình vi phân tách biến
D. Phương trình vi phân Bernoulli
19. Phương pháp nào sau đây **KHÔNG** phải là phương pháp tính tích phân từng phần?
A. Đặt u là hàm số đa thức và dv là phần còn lại.
B. Đặt u là hàm số lượng giác và dv là phần còn lại.
C. Đặt u là hàm số mũ và dv là phần còn lại.
D. Đặt u là hàm số hữu tỷ và dv là phần còn lại.
20. Tiêu chuẩn D`Alembert (tỷ số) dùng để xét sự hội tụ của chuỗi số dương ∑[n=1, ∞] a_n dựa trên giới hạn L = lim[n→∞] (a_[n+1] / a_n). Nếu L < 1 thì chuỗi:
A. Phân kỳ
B. Hội tụ
C. Có thể hội tụ hoặc phân kỳ
D. Hội tụ tuyệt đối
21. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y`` + 4y = 0 có dạng nào?
A. y(x) = C_1 cos(2x) + C_2 sin(2x)
B. y(x) = C_1 e^(2x) + C_2 e^(-2x)
C. y(x) = (C_1 + C_2 x) e^(2x)
D. y(x) = C_1 cos(4x) + C_2 sin(4x)
22. Bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa ∑[n=0, ∞] c_n (x - a)^n được xác định bởi công thức nào (với L = lim[n→∞] |c_[n+1] / c_n|)?
A. R = L
B. R = 1/L
C. R = √L
D. R = 1/√L
23. Chuỗi lũy thừa có dạng tổng quát nào sau đây?
A. ∑[n=0, ∞] c_n x^n
B. ∑[n=0, ∞] c_n (x - a)^n
C. ∑[n=0, ∞] c_n / x^n
D. ∑[n=0, ∞] c_n / (x - a)^n
24. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?
A. y` + y^2 = x
B. y` + xy = x^2
C. y`` + y` + y = 0
D. y`y = x
25. Khẳng định nào sau đây về tích phân bất định là **SAI**?
A. Tích phân bất định của một hàm số là một họ các hàm số.
B. Phép tính tích phân bất định là phép toán ngược của phép tính đạo hàm.
C. Mọi hàm số liên tục đều có tích phân bất định.
D. Tích phân bất định của f(x) + g(x) bằng tích phân bất định của f(x) cộng tích phân bất định của g(x).
26. Diện tích mặt tròn xoay tạo thành khi quay đường cong y = f(x) từ x = a đến x = b quanh trục Ox được tính bởi công thức nào?
A. 2π∫[a, b] f(x) √(1 + [f`(x)]^2) dx
B. π∫[a, b] [f(x)]^2 √(1 + [f`(x)]^2) dx
C. 2π∫[a, b] f(x) (1 + [f`(x)]^2) dx
D. π∫[a, b] f(x) √(1 + [f`(x)]^2) dx
27. Cho chuỗi số ∑[n=1, ∞] (-1)^(n-1) / n. Chuỗi này là:
A. Hội tụ tuyệt đối
B. Phân kỳ
C. Hội tụ có điều kiện
D. Không xác định được
28. Chuỗi Taylor của hàm số f(x) tại x = a là chuỗi lũy thừa nào sau đây?
A. ∑[n=0, ∞] (f^(n)(a) / n!) x^n
B. ∑[n=0, ∞] (f^(n)(a) / n!) (x - a)^n
C. ∑[n=0, ∞] (f^(n)(0) / n!) (x - a)^n
D. ∑[n=0, ∞] (f^(n)(x) / n!) (x - a)^n
29. Giá trị của tích phân ∫[0, π/2] sin(x) dx là bao nhiêu?
30. Công thức nào sau đây là công thức tích phân từng phần cho tích phân xác định?
A. ∫[a, b] u dv = uv |_[a, b] - ∫[a, b] v du
B. ∫[a, b] u dv = uv - ∫[a, b] v du
C. ∫ u dv = uv |_[a, b] - ∫ v du
D. ∫[a, b] u dv = ∫[a, b] v du - uv |_[a, b]
