1. Giá trị của tích phân suy rộng ∫[1, ∞) (1/x²) dx là:
2. Khẳng định nào sau đây về chuỗi lũy thừa ∑ c_n (x - a)^n là đúng?
A. Chuỗi luôn hội tụ tại x = a
B. Chuỗi luôn phân kỳ tại x = a
C. Chuỗi có bán kính hội tụ R = 0
D. Chuỗi hội tụ với mọi x
3. Tích phân bất định ∫cos(x) dx bằng:
A. sin(x) + C
B. -sin(x) + C
C. tan(x) + C
D. -cos(x) + C
4. Tích phân xác định ∫[0, 1] x² dx bằng:
A. 1/3
B. 1/2
C. 2/3
D. 1
5. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (x^n) / n! là:
6. Phương trình vi phân y`` + 4y` + 4y = 0 có nghiệm tổng quát dạng nào?
A. y = (C1 + C2x)e^(-2x)
B. y = C1e^(2x) + C2e^(-2x)
C. y = C1cos(2x) + C2sin(2x)
D. y = e^(-2x)(C1cos(2x) + C2sin(2x))
7. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?
A. y` + xy = x²
B. y`` + (y`)² = x
C. y` + y² = x
D. yy` + x = 0
8. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để chuỗi số ∑ a_n hội tụ?
A. lim (a_n) = 0 khi n → ∞
B. lim (a_n) = 1 khi n → ∞
C. a_n > 0 với mọi n
D. a_n < 0 với mọi n
9. Hàm số f(x, y) = xy có điểm dừng tại:
A. (0, 0)
B. (1, 1)
C. (-1, -1)
D. Không có điểm dừng
10. Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền giới hạn bởi y = x², y = 0, x = 1 quanh trục Ox được tính bằng công thức nào?
A. V = π∫[0, 1] (x²)² dx
B. V = π∫[0, 1] x² dx
C. V = 2π∫[0, 1] x * x² dx
D. V = ∫[0, 1] (x²)² dx
11. Chuỗi số nào sau đây là chuỗi hội tụ?
A. ∑ (1/n) từ n=1 đến ∞
B. ∑ (1/n²) từ n=1 đến ∞
C. ∑ n từ n=1 đến ∞
D. ∑ (-1)^n từ n=1 đến ∞
12. Thể tích của khối trụ tròn có bán kính đáy r và chiều cao h là:
A. πr²h
B. (1/3)πr²h
C. 2πrh
D. πr³h
13. Tích phân kép ∫∫[R] f(x, y) dA trên miền R là diện tích hình chữ nhật [a, b] x [c, d] được tính bằng:
A. ∫[a, b] ∫[c, d] f(x, y) dy dx
B. ∫[a, b] ∫[c, d] f(x, y) dx dy
C. ∫[c, d] ∫[a, b] f(x, y) dy dx
D. Cả 1 và 3 đều đúng
14. Điều kiện Lagrange được sử dụng để tìm:
A. Cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến
B. Cực trị tự do của hàm một biến
C. Cực trị tự do của hàm nhiều biến
D. Nghiệm của phương trình vi phân
15. Đường cong mức của hàm số f(x, y) = x² + y² là:
A. Các đường tròn đồng tâm
B. Các đường thẳng song song
C. Các đường hyperbol
D. Các đường parabol
16. Hàm số f(x, y) = x² + y² - 2x - 4y + 5 đạt cực tiểu tại điểm nào?
A. (1, 2)
B. (0, 0)
C. (-1, -2)
D. (2, 1)
17. Tích phân đường loại 2 ∫[C] Pdx + Qdy phụ thuộc vào yếu tố nào?
A. Hướng của đường cong C
B. Tham số hóa của đường cong C
C. Điểm đầu và điểm cuối của đường cong C
D. Diện tích miền giới hạn bởi C
18. Chuỗi Taylor của hàm số e^x tại x = 0 là:
A. ∑ (x^n) / n! từ n=0 đến ∞
B. ∑ (x^n) từ n=0 đến ∞
C. ∑ ((-1)^n x^n) / n! từ n=0 đến ∞
D. ∑ (x^(2n)) / (2n)! từ n=0 đến ∞
19. Trong tọa độ cực, diện tích của miền D được tính bằng công thức nào?
A. ∬[D] r dr dθ
B. ∬[D] r² dr dθ
C. ∬[D] dr dθ
D. ∬[D] (1/r) dr dθ
20. Tính chất tuyến tính của tích phân xác định phát biểu rằng:
A. ∫[a, b] [cf(x) + dg(x)] dx = c∫[a, b] f(x) dx + d∫[a, b] g(x) dx
B. ∫[a, b] [f(x)g(x)] dx = ∫[a, b] f(x) dx * ∫[a, b] g(x) dx
C. ∫[a, b+c] f(x) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[a, c] f(x) dx
D. ∫[a, b] f(cx) dx = c∫[a, b] f(x) dx
21. Độ dài cung của đường cong y = f(x) từ x = a đến x = b được tính bằng công thức:
A. L = ∫[a, b] √(1 + [f`(x)]²) dx
B. L = ∫[a, b] √([f`(x)]² - 1) dx
C. L = ∫[a, b] (1 + [f`(x)]²) dx
D. L = ∫[a, b] √(1 + f`(x)) dx
22. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 3 là:
A. x² + C
B. x² + 3x + C
C. 2x² + 3x + C
D. 2 + C
23. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y` = y, với điều kiện ban đầu y(0) = 1 là:
A. y = e^x
B. y = x + 1
C. y = 1
D. y = e^(-x)
24. Đạo hàm riêng theo x của hàm số f(x, y) = x²y + xy² là:
A. 2xy + y²
B. x² + 2xy
C. 2x + 2y
D. 2y + 2x
25. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tách biến?
A. dy/dx = x²y
B. dy/dx = x + y
C. dy/dx = xy + x
D. dy/dx = x² + y²
26. Chuỗi số ∑ ((-1)^n) / n là chuỗi:
A. Hội tụ có điều kiện
B. Hội tụ tuyệt đối
C. Phân kỳ
D. Dao động
27. Giá trị gần đúng của tích phân ∫[0, 1] e^(x²) dx có thể được tính bằng phương pháp nào sau đây?
A. Phương pháp số (ví dụ: Simpson, hình thang)
B. Tích phân từng phần
C. Thay biến số
D. Phân tích thành phân thức hữu tỷ
28. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y` = 2x là:
A. y = x² + C
B. y = 2x² + C
C. y = 2x + C
D. y = Cex²
29. Định lý Green liên hệ tích phân đường loại 2 với:
A. Tích phân kép
B. Tích phân đường loại 1
C. Đạo hàm riêng
D. Nguyên hàm
30. Công thức nào sau đây là công thức tích phân từng phần?
A. ∫udv = uv - ∫vdu
B. ∫udv = uv + ∫vdu
C. ∫udv = u∫dv - v∫du
D. ∫udv = ∫uv - ∫vdu
