1. Hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 có cực trị tại điểm (0, 0) là cực trị gì?
A. Cực tiểu
B. Cực đại
C. Không phải cực trị
D. Vừa cực đại vừa cực tiểu
2. Để tính tích phân ∫sin^2(x)cos(x)dx, phương pháp đổi biến nào phù hợp?
A. Đặt u = sin(x)
B. Đặt u = cos(x)
C. Đặt u = tan(x)
D. Đặt u = x^2
3. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x, trục Ox và x = 4 quanh trục Ox là:
A. 8π
B. 16π
C. 32π
D. 64π
4. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y` = 2x là:
A. y = x^2 + C
B. y = 2x^2 + C
C. y = 2x + C
D. y = C*e^(2x)
5. Định lý Green liên hệ giữa tích phân đường và tích phân mặt nào?
A. Tích phân kép
B. Tích phân bội ba
C. Tích phân mặt loại 1
D. Tích phân mặt loại 2
6. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds, với C là đường cong tham số r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] được tính bằng công thức nào?
A. ∫[a, b] f(x(t), y(t)) ||r`(t)|| dt
B. ∫[a, b] f(x(t), y(t)) r`(t) dt
C. ∫[a, b] f(x(t), y(t)) dt
D. ∫[a, b] f(x(t), y(t)) ||r(t)|| dt
7. Trong tọa độ trụ (r, θ, z), biểu thức x^2 + y^2 được viết là:
A. r^2
B. r
C. z^2
D. r^2 + z^2
8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^2, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 2 là:
9. Định lý Stokes liên hệ giữa tích phân đường và tích phân mặt nào?
A. Tích phân mặt loại 2
B. Tích phân mặt loại 1
C. Tích phân kép
D. Tích phân bội ba
10. Phương trình vi phân y`` + 4y = 0 là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai:
A. Thuần nhất
B. Không thuần nhất
C. Biến phân ly
D. Tuyến tính cấp một
11. Tích phân đường loại 2 ∫_C Pdx + Qdy, với C là đường cong tham số r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] được tính bằng công thức nào?
A. ∫[a, b] [P(x(t), y(t))x`(t) + Q(x(t), y(t))y`(t)] dt
B. ∫[a, b] [P(x(t), y(t)) + Q(x(t), y(t))] dt
C. ∫[a, b] [P(x(t), y(t))x(t) + Q(x(t), y(t))y(t)] dt
D. ∫[a, b] [P(x`(t), y`(t))x`(t) + Q(x`(t), y`(t))y`(t)] dt
12. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] 1/n^2 hội tụ hay phân kỳ?
A. Hội tụ
B. Phân kỳ
C. Không xác định
D. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
13. Chuỗi Taylor của hàm số e^x tại x = 0 là:
A. ∑[n=0, ∞] x^n / n!
B. ∑[n=0, ∞] (-1)^n x^n / n!
C. ∑[n=0, ∞] x^n / n
D. ∑[n=0, ∞] (-1)^n x^n / n
14. Độ dài cung của đường cong y = x^(3/2) từ x = 0 đến x = 1 được tính bằng tích phân nào?
A. ∫[0, 1] √(1 + (9/4)x) dx
B. ∫[0, 1] √(1 + (3/2)x^(1/2)) dx
C. ∫[0, 1] √(1 + x^3) dx
D. ∫[0, 1] √(1 + x^(3/2)) dx
15. Công thức nào sau đây là công thức tích phân từng phần?
A. ∫udv = uv - ∫vdu
B. ∫udv = uv + ∫vdu
C. ∫udv = u∫dv - v∫du
D. ∫udv = ∫uv - ∫vdu
16. Divergence của một trường vectơ F = (P, Q, R) là một:
A. Hàm số vô hướng
B. Trường vectơ
C. Số thực
D. Ma trận
17. Curl của một trường vectơ F = (P, Q, R) là một:
A. Trường vectơ
B. Hàm số vô hướng
C. Số thực
D. Ma trận
18. Tích phân suy rộng ∫[1, ∞) 1/x^2 dx hội tụ hay phân kỳ?
A. Hội tụ
B. Phân kỳ
C. Không xác định
D. Vừa hội tụ vừa phân kỳ
19. Tích phân xác định ∫[0, 1] x^2 dx bằng:
A. 1/3
B. 1/2
C. 2/3
D. 1
20. Điểm dừng của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x là điểm nào?
A. (1, 0)
B. (0, 1)
C. (0, 0)
D. (1, 1)
21. Tích phân bất định của hàm số f(x) = 2x + 3 là:
A. x^2 + 3x + C
B. 2x^2 + 3x + C
C. x^2 + C
D. 3x + C
22. Để tính tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA trên miền D hình tròn x^2 + y^2 ≤ R^2, hệ tọa độ nào thường được sử dụng?
A. Tọa độ cực
B. Tọa độ Descartes
C. Tọa độ trụ
D. Tọa độ cầu
23. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y`` - y = 0 có dạng y = e^(rx). Giá trị của r là:
A. r = ±1
B. r = ±2
C. r = 1
D. r = -1
24. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân thể tích nào?
A. Tích phân bội ba
B. Tích phân mặt loại 1
C. Tích phân mặt loại 2
D. Tích phân kép
25. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?
A. y` + p(x)y = q(x)
B. (y`)^2 + y = x
C. y`` + y` + y = 0
D. y`y = x
26. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[n=0, ∞] x^n / n! là:
27. Gradient của một hàm số vô hướng f(x, y, z) là một:
A. Trường vectơ
B. Hàm số vô hướng
C. Số thực
D. Ma trận
28. Jacobian của phép biến đổi tọa độ cực (x, y) → (r, θ) là:
29. Tính đạo hàm riêng cấp hai ∂^2f/∂x∂y của hàm số f(x, y) = x^3y^2.
A. 6xy
B. 6x^2y
C. 3x^2y^2
D. 2x^3y
30. Tiêu chuẩn nào sau đây dùng để xét sự hội tụ của chuỗi số dương dựa trên tỷ lệ giữa hai số hạng liên tiếp?
A. Tiêu chuẩn D`Alembert (tỷ số)
B. Tiêu chuẩn Cauchy (căn)
C. Tiêu chuẩn so sánh
D. Tiêu chuẩn tích phân
