1. Tích phân ∫(1/x) dx bằng:
A. ln|x| + C
B. 1/x^2 + C
C. -1/x^2 + C
D. ln(x) + C
2. Công thức nào sau đây là công thức tích phân từng phần?
A. ∫udv = uv - ∫vdu
B. ∫udv = uv + ∫vdu
C. ∫udv = u∫dv - v∫du
D. ∫udv = ∫uv - ∫vdu
3. Chuỗi Taylor của hàm số e^x tại x = 0 là:
A. ∑(x^n)/n! từ n=0 đến ∞
B. ∑x^n từ n=0 đến ∞
C. ∑(-1)^n (x^n)/n! từ n=0 đến ∞
D. ∑(x^(2n))/(2n)! từ n=0 đến ∞
4. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y` = k*y (k là hằng số) có dạng:
A. y(x) = C*e^(kx)
B. y(x) = C*e^(-kx)
C. y(x) = C*x^k
D. y(x) = C*ln(x)
5. Trong tích phân suy rộng ∫[1, ∞] (1/x^p) dx, tích phân này hội tụ khi:
A. p > 1
B. p ≥ 1
C. p < 1
D. p ≤ 1
6. Tích phân bất định ∫cos(x) dx bằng:
A. sin(x) + C
B. -sin(x) + C
C. tan(x) + C
D. -cos(x) + C
7. Phương trình vi phân y`` + 4y` + 4y = 0 là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2:
A. Thuần nhất với hệ số hằng số
B. Không thuần nhất với hệ số hằng số
C. Thuần nhất với hệ số biến thiên
D. Không tuyến tính
8. Chuỗi số ∑(-1)^n/(n+1) là chuỗi:
A. Hội tụ có điều kiện
B. Hội tụ tuyệt đối
C. Phân kỳ
D. Chuỗi hình học
9. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a, x=b, ta dùng công thức:
A. ∫[a,b] |f(x)| dx
B. ∫[a,b] f(x) dx
C. |∫[a,b] f(x) dx|
D. ∫[a,b] (f(x))^2 dx
10. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 3 là:
A. x^2 + 3x + C
B. 2x^2 + 3x + C
C. x^2 + C
D. 2 + C
11. Để tính tích phân ∫x*e^x dx, phương pháp tích phân nào phù hợp nhất?
A. Tích phân bằng phép đổi biến số
B. Tích phân từng phần
C. Tích phân phân thức hữu tỷ
D. Tích phân lượng giác
12. Để chuyển tích phân kép từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực, ta thay dA bằng:
A. r dr dθ
B. dr dθ
C. r^2 dr dθ
D. r dθ dr
13. Chuỗi số ∑(1/n^p) hội tụ khi nào?
A. p > 1
B. p ≥ 1
C. p < 1
D. p ≤ 1
14. Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính đáy r và chiều cao h là:
A. πr^2h
B. (1/3)πr^2h
C. 2πrh
D. πrh
15. Hàm số nào sau đây là nghiệm của phương trình vi phân y`` + y = 0?
A. y = sin(x)
B. y = x
C. y = x^2
D. y = e^x
16. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1?
A. y` + p(x)y = q(x)
B. (y`)^2 + p(x)y = q(x)
C. y`` + p(x)y` + q(x)y = r(x)
D. y` + p(y)y = q(x)
17. Giá trị của tích phân xác định ∫[0,1] x^2 dx là:
A. 1/3
B. 1/2
C. 2/3
D. 1
18. Tiêu chuẩn so sánh giới hạn được sử dụng để:
A. So sánh sự hội tụ của hai chuỗi số dương
B. Xác định bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
C. Tính tổng của chuỗi số
D. Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu
19. Độ dài cung của đường cong y = f(x) từ x = a đến x = b được tính bằng công thức:
A. ∫[a,b] √(1 + (f`(x))^2) dx
B. ∫[a,b] √(1 + (f(x))^2) dx
C. ∫[a,b] (1 + (f`(x))^2) dx
D. ∫[a,b] √(1 + f`(x)) dx
20. Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), trục Ox, x=a, x=b quanh trục Ox được tính bằng công thức:
A. π∫[a,b] (f(x))^2 dx
B. 2π∫[a,b] x*f(x) dx
C. π∫[a,b] f(x) dx
D. ∫[a,b] (f(x))^2 dx
21. Tích phân suy rộng loại 1 là tích phân với:
A. Cận tích phân hữu hạn và hàm số bị chặn
B. Cận tích phân vô hạn hoặc hàm số không bị chặn tại một điểm
C. Cận tích phân vô hạn và hàm số bị chặn
D. Cận tích phân hữu hạn và hàm số không bị chặn
22. Định lý Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường dọc theo biên của miền phẳng và tích phân kép trên miền đó
B. Tích phân mặt trên một mặt kín và tích phân khối bên trong mặt đó
C. Tích phân đường trong không gian và tích phân mặt
D. Tích phân kép và tích phân ba lớp
23. Tiêu chuẩn D`Alembert (tỷ số) dùng để xét sự hội tụ của chuỗi số dương dựa trên:
A. Giới hạn tỷ số của hai số hạng liên tiếp
B. Giới hạn căn bậc n của số hạng tổng quát
C. So sánh với một chuỗi đã biết
D. Tính tổng riêng phần của chuỗi
24. Công thức đổi biến trong tích phân xác định ∫[a,b] f(g(x))g`(x) dx là:
A. ∫[g(a), g(b)] f(u) du
B. ∫[a,b] f(u) du
C. ∫[a,b] f(u) g`(x) du
D. ∫[g(b), g(a)] f(u) du
25. Tích phân đường loại 1 của hàm f(x,y) dọc theo đường cong C tham số hóa bởi r(t) = , a ≤ t ≤ b, được tính bằng:
A. ∫[a,b] f(x(t), y(t)) ||r`(t)|| dt
B. ∫[a,b] f(x(t), y(t)) r`(t) dt
C. ∫[a,b] f(x(t), y(t)) dt
D. ∫[a,b] f(x`(t), y`(t)) ||r`(t)|| dt
26. Tích phân ∫∫_D f(x,y) dA, với D là miền trên mặt phẳng xy, được gọi là:
A. Tích phân kép
B. Tích phân đường loại 1
C. Tích phân đường loại 2
D. Tích phân mặt
27. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y`` - y = e^x có dạng:
A. y_p = Axe^x
B. y_p = Ae^x
C. y_p = Ax
D. y_p = A
28. Trường vectơ F được gọi là trường bảo toàn nếu tồn tại hàm vô hướng φ sao cho:
A. ∇φ = F
B. div F = 0
C. curl F = 0
D. φ = ∇⋅F
29. Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange dùng để tìm:
A. Nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
B. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
C. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tách biến
D. Nghiệm của phương trình vi phân Bernoulli
30. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑a_n(x-c)^n được xác định bởi công thức nào?
A. R = 1/lim sup |a_n|^(1/n)
B. R = lim sup |a_n|^(1/n)
C. R = lim sup |a_n|/|a_(n+1)|
D. R = lim sup |a_(n+1)|/|a_n|
