1. Để tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = f(x) và y = g(x) từ x = a đến x = b, ta sử dụng công thức nào (giả sử f(x) ≥ g(x) trên [a, b])?
A. ∫[a, b] [f(x) + g(x)] dx.
B. ∫[a, b] [f(x) - g(x)] dx.
C. ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx.
D. ∫[a, b] [g(x) - f(x)] dx.
2. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng a.y`` + b.y` + c.y = 0 phụ thuộc vào yếu tố nào?
A. Giá trị của vế phải (hàm số f(x)).
B. Nghiệm của phương trình đặc trưng a.r^2 + b.r + c = 0.
C. Điều kiện ban đầu y(x_0) = y_0, y`(x_0) = y`_0.
D. Sự tồn tại của nghiệm riêng.
3. Đâu là định nghĩa chính xác của tích phân bất định của một hàm số f(x)?
A. Một số thực duy nhất biểu thị diện tích dưới đường cong f(x).
B. Một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của nó bằng f(x), tức F`(x) = f(x).
C. Giới hạn của tổng Riemann khi số phân hoạch tiến tới vô cùng.
D. Đạo hàm của hàm số f(x).
4. Nếu chuỗi lũy thừa ∑ c_n (x - a)^n có bán kính hội tụ R > 0, thì miền hội tụ của chuỗi là gì?
A. Khoảng (a - R, a + R).
B. Khoảng đóng [a - R, a + R].
C. Một trong các khoảng (a - R, a + R), [a - R, a + R), (a - R, a + R], [a - R, a + R].
D. Tập hợp chỉ gồm một điểm {a}.
5. Tích phân xác định ∫[a, b] f(x) dx biểu thị điều gì về mặt hình học nếu f(x) ≥ 0 trên [a, b]?
A. Độ dốc của đường cong y = f(x) tại điểm x = c thuộc [a, b].
B. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b.
C. Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền phẳng giới hạn bởi y = f(x) và trục Ox quanh trục Oy.
D. Chiều dài cung của đường cong y = f(x) từ x = a đến x = b.
6. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ c_n (x - a)^n được xác định bởi công thức nào?
A. R = lim (n→∞) |c_n / c_(n+1)|
B. R = lim (n→∞) |c_(n+1) / c_n|
C. R = lim (n→∞) |c_n|^(1/n)
D. R = lim (n→∞) |c_n|
7. Phương pháp hệ số bất định thường được sử dụng để tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính nào?
A. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất.
B. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một.
C. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng và vế phải có dạng đặc biệt.
D. Phương trình vi phân tách biến.
8. Chuỗi số ∑ (1/n^p) hội tụ khi nào?
A. p ≤ 1.
B. p < 1.
C. p > 1.
D. p ≥ 1.
9. Phương pháp nào sau đây KHÔNG phải là phương pháp tính tích phân cơ bản?
A. Phương pháp thay biến số (đổi biến số).
B. Phương pháp tích phân từng phần.
C. Phương pháp phân tích thừa số nguyên tố.
D. Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm.
10. Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a, x = b quanh trục Ox được tính bằng công thức nào?
A. π ∫[a, b] [f(x)] dx.
B. π ∫[a, b] [f(x)]^2 dx.
C. 2π ∫[a, b] x f(x) dx.
D. 2π ∫[a, b] y f(y) dy.
11. Tiêu chuẩn so sánh giới hạn được sử dụng để làm gì trong việc xét sự hội tụ của chuỗi số dương?
A. Tính tổng của chuỗi số.
B. Xác định tốc độ hội tụ của chuỗi số.
C. So sánh sự hội tụ của hai chuỗi số dương bằng cách xét giới hạn tỉ số các số hạng.
D. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
12. Chuỗi Maclaurin là trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor khi nào?
A. a = 1.
B. a = -1.
C. a = 0.
D. a = ∞.
13. Đâu là điều kiện cần để chuỗi lũy thừa ∑ c_n (x - a)^n hội tụ tại x = x_0?
A. lim (n→∞) c_n = 0.
B. Chuỗi ∑ c_n (x_0 - a)^n hội tụ.
C. |x_0 - a| < R, với R là bán kính hội tụ.
D. Chuỗi ∑ |c_n (x_0 - a)^n| hội tụ.
14. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?
A. y`` + 3y` - 2y = sin(x).
B. (y`)^2 + y = x.
C. y` + p(x)y = q(x).
D. y` + y.y` = x.
15. Tích phân đường loại 2 trong trường vectơ thường được sử dụng để tính đại lượng vật lý nào?
A. Khối lượng của dây cong.
B. Công của lực trường vectơ dọc theo một đường cong.
C. Diện tích bề mặt cong.
D. Thể tích của vật thể.
16. Công thức tích phân từng phần cho tích phân ∫ u dv là gì?
A. u.v - ∫ v du
B. u.v + ∫ v du
C. u.v - ∫ u dv
D. u.v + ∫ u dv
17. Công thức xấp xỉ tích phân bằng phương pháp hình thang (Trapezoidal Rule) là gì?
A. ∫[a, b] f(x) dx ≈ (b-a)/n * [f(x_0) + 2f(x_1) + ... + 2f(x_(n-1)) + f(x_n)]
B. ∫[a, b] f(x) dx ≈ (b-a)/(2n) * [f(x_0) + 2f(x_1) + ... + 2f(x_(n-1)) + f(x_n)]
C. ∫[a, b] f(x) dx ≈ (b-a)/(3n) * [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + ... + 4f(x_(n-1)) + f(x_n)]
D. ∫[a, b] f(x) dx ≈ (b-a)/n * [f(x_0) + f(x_1) + ... + f(x_(n-1)) + f(x_n)]
18. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo sự hội tụ của chuỗi số dương ∑ a_n?
A. Tiêu chuẩn so sánh giới hạn với chuỗi hội tụ.
B. Tiêu chuẩn D`Alembert (tỉ số) với giới hạn tỉ số nhỏ hơn 1.
C. Tiêu chuẩn Cauchy (căn) với giới hạn căn bậc n nhỏ hơn 1.
D. lim (n→∞) a_n = 0.
19. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tách biến y` = f(x)g(y) được tìm bằng cách nào?
A. Tích phân hai vế phương trình sau khi đã tách biến: ∫ (1/g(y)) dy = ∫ f(x) dx.
B. Sử dụng phương pháp hệ số bất định.
C. Tìm nghiệm riêng và nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng.
D. Áp dụng công thức nghiệm D`Alembert.
20. Sai phân cấp hai của hàm số y = f(x) được ký hiệu là Δ²y. Biểu thức nào sau đây là đúng?
A. Δ²y = Δ(Δy) = Δ(f(x+h) - f(x))
B. Δ²y = [Δy]² = [f(x+h) - f(x)]²
C. Δ²y = f(x+2h) - f(x)
D. Δ²y = f``(x)
21. Định lý Green liên hệ giữa tích phân đường loại 2 trên đường cong kín C và tích phân gì trên miền D giới hạn bởi C?
A. Tích phân đường loại 1.
B. Tích phân bội hai.
C. Tích phân bội ba.
D. Đạo hàm riêng.
22. Tích phân suy rộng loại 1 là tích phân có đặc điểm gì?
A. Hàm số dưới dấu tích phân không bị chặn trên miền tích phân.
B. Miền tích phân là một khoảng hữu hạn.
C. Cận tích phân chứa vô cùng (±∞).
D. Hàm số dưới dấu tích phân liên tục trên miền tích phân.
23. Tính chất tuyến tính của tích phân bất định phát biểu rằng ∫ [af(x) + bg(x)] dx bằng:
A. a∫f(x) dx + b∫g(x) dx
B. a∫f(x) dx . b∫g(x) dx
C. (a+b) ∫[f(x) + g(x)] dx
D. ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
24. Điều kiện nào sau đây là ĐỦ để chuỗi số ∑ a_n hội tụ?
A. lim (n→∞) a_n = 0.
B. Chuỗi ∑ |a_n| hội tụ.
C. a_n > 0 với mọi n.
D. Chuỗi ∑ a_n^2 hội tụ.
25. Chiều dài cung của đường cong y = f(x) từ x = a đến x = b được tính bằng công thức nào?
A. ∫[a, b] √(1 + [f`(x)]^2) dx.
B. ∫[a, b] √(1 + [f(x)]^2) dx.
C. ∫[a, b] [f`(x)] dx.
D. ∫[a, b] √([f`(x)]^2 - 1) dx.
26. Công thức xấp xỉ tích phân bằng phương pháp Simpson (Simpson`s Rule) có độ chính xác cao hơn phương pháp hình thang khi nào?
A. Luôn luôn.
B. Khi hàm số f(x) là hàm bậc nhất.
C. Khi hàm số f(x) có đạo hàm cấp bốn liên tục và không đổi dấu.
D. Khi hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục và không đổi dấu.
27. Trong phép tính tích phân, `phép thay biến số` còn được gọi là gì?
A. Tích phân từng phần.
B. Đạo hàm hàm hợp.
C. Đổi biến số.
D. Tính gần đúng bằng tổng Riemann.
28. Ứng dụng của tích phân đường loại 1 trong trường vô hướng là gì?
A. Tính công của lực dọc theo đường cong.
B. Tính lưu lượng chất lỏng qua một mặt cong.
C. Tính khối lượng của dây cong với mật độ biến thiên.
D. Tính điện thế tại một điểm do điện tích phân bố trên đường cong.
29. Chuỗi Taylor của hàm số f(x) tại x = a là gì?
A. ∑ [f^(n)(a) / n!] (x - a)^n
B. ∑ [f^(n)(0) / n!] x^n
C. ∑ [f^(n)(x) / n!] (x - a)^n
D. ∑ [f(a) / n!] (x - a)^n
30. Tích phân suy rộng loại 2 là tích phân có đặc điểm gì?
A. Cận tích phân chứa vô cùng (±∞).
B. Miền tích phân là một khoảng hữu hạn.
C. Hàm số dưới dấu tích phân không bị chặn tại một hoặc nhiều điểm trong miền tích phân.
D. Hàm số dưới dấu tích phân liên tục trên miền tích phân.
