1. Trong tích phân bội hai, việc đổi thứ tự tích phân có thể hữu ích trong trường hợp nào?
A. Khi hàm dưới dấu tích phân là hàm hằng số.
B. Khi miền tích phân là hình chữ nhật.
C. Khi việc tính tích phân theo thứ tự ban đầu trở nên phức tạp.
D. Khi cả hai cận tích phân đều là số.
2. Đâu là điều kiện cần để chuỗi số ∑ a_n hội tụ?
A. lim (n→∞) a_n = 0
B. lim (n→∞) a_n = 1
C. ∑ |a_n| hội tụ
D. a_n > 0 với mọi n
3. Công thức nào sau đây là công thức tính độ dài cung của đường cong tham số x = x(t), y = y(t) từ t = a đến t = b?
A. ∫[a, b] √((dx/dt) + (dy/dt)) dt
B. ∫[a, b] √((dx/dt)^2 - (dy/dt)^2) dt
C. ∫[a, b] √((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt
D. ∫[a, b] ((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt
4. Chuỗi số nào sau đây là chuỗi hội tụ?
A. ∑ (1/n) từ n=1 đến ∞
B. ∑ (n) từ n=1 đến ∞
C. ∑ (1/n^2) từ n=1 đến ∞
D. ∑ (-1)^n từ n=1 đến ∞
5. Đâu là công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, và hai đường thẳng x = a, x = b?
A. ∫[a, b] f(x) dx
B. |∫[a, b] f(x) dx|
C. ∫[a, b] |f(x)| dx
D. ∫[a, b] (f(x))^2 dx
6. Tích phân ∫ cos(x) sin(x) dx bằng phương pháp đổi biến số nào thì đơn giản nhất?
A. Đổi biến u = x.
B. Đổi biến u = sin(x).
C. Đổi biến u = cos(x).
D. Tích phân từng phần.
7. Tích phân bất định của hàm số f(x) là gì?
A. Một số thực xác định duy nhất.
B. Một họ các hàm số có đạo hàm bằng f(x).
C. Giá trị của diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
D. Một hàm số có đạo hàm bằng 0.
8. Tích phân đường loại 1 dùng để tính đại lượng nào?
A. Diện tích bề mặt.
B. Khối lượng của dây cong.
C. Thể tích vật thể.
D. Công của lực dọc theo đường cong.
9. Chuỗi Taylor của sin(x) tại x = 0 là gì?
A. ∑ (x^n / n!) từ n=0 đến ∞
B. ∑ ((-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!) từ n=0 đến ∞
C. ∑ ((-1)^n * x^(2n) / (2n)!) từ n=0 đến ∞
D. ∑ (x^(2n+1) / (2n+1)!) từ n=0 đến ∞
10. Đâu là ứng dụng của tích phân trong hình học?
A. Tìm cực trị của hàm số.
B. Tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể.
C. Giải phương trình vi phân.
D. Tìm giới hạn của hàm số.
11. Tích phân suy rộng loại 1 là tích phân với đặc điểm nào?
A. Cận tích phân hữu hạn và hàm dưới dấu tích phân liên tục.
B. Cận tích phân vô hạn hoặc hàm dưới dấu tích phân không xác định tại một điểm.
C. Hàm dưới dấu tích phân là hàm đa thức.
D. Cả cận tích phân và hàm dưới dấu tích phân đều hữu hạn.
12. Công thức nào sau đây là công thức khai triển Taylor của hàm số f(x) tại điểm a?
A. f(x) = ∑ [f^(n)(a) / n!] * (x-a)^n từ n=0 đến ∞
B. f(x) = ∑ [f^(n)(x) / n!] * (x-a)^n từ n=0 đến ∞
C. f(x) = ∑ [f(a) / n!] * (x-a)^n từ n=0 đến ∞
D. f(x) = ∑ [f^(n)(a) / n!] * x^n từ n=0 đến ∞
13. Tính tích phân bội hai ∫∫_D xy dA, với D là miền vuông góc [0, 1] x [0, 2].
14. Đường cong tham số được cho bởi x = t^2, y = t^3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm t = 1 có hệ số góc bằng bao nhiêu?
A. 3/2
B. 2/3
C. 1
D. Không xác định
15. Trong tích phân bội ba, tọa độ trụ (cylindrical coordinates) sử dụng các biến nào?
A. (x, y, z)
B. (r, θ, z)
C. (ρ, θ, φ)
D. (x, θ, z)
16. Phương trình vi phân y`` + 4y` + 4y = 0 là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai loại gì?
A. Thuần nhất, hệ số hằng.
B. Không thuần nhất, hệ số hằng.
C. Thuần nhất, hệ số biến thiên.
D. Không tuyến tính.
17. Chuỗi số ∑ (1/n^p) hội tụ khi nào?
A. p ≤ 1
B. p < 1
C. p > 1
D. p ≥ 0
18. Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange được dùng để giải loại phương trình vi phân nào?
A. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất.
B. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất.
C. Phương trình vi phân tách biến.
D. Phương trình vi phân Bernoulli.
19. Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền D quanh trục Ox, với D giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a, x = b được tính bằng công thức nào?
A. π ∫[a, b] f(x) dx
B. π ∫[a, b] (f(x))^2 dx
C. 2π ∫[a, b] x*f(x) dx
D. ∫[a, b] (f(x))^2 dx
20. Điều gì xảy ra nếu chuỗi lũy thừa ∑ a_n * (x-c)^n có bán kính hội tụ R = 0?
A. Chuỗi hội tụ với mọi x.
B. Chuỗi chỉ hội tụ tại x = c.
C. Chuỗi hội tụ trên khoảng (-R, R).
D. Chuỗi phân kỳ với mọi x ≠ c.
21. Tiêu chuẩn nào sau đây KHÔNG phải là tiêu chuẩn hội tụ cho chuỗi số dương?
A. Tiêu chuẩn so sánh.
B. Tiêu chuẩn D`Alembert (tỷ lệ).
C. Tiêu chuẩn Cauchy (căn).
D. Tiêu chuẩn Leibniz (cho chuỗi đan dấu).
22. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (x^n / n!) là gì?
A. (-1, 1)
B. [-1, 1]
C. (-∞, +∞)
D. {0}
23. Tính đạo hàm riêng ∂f/∂x của hàm số f(x, y) = x^2 * sin(y) + y^3.
A. 2x * cos(y) + 3y^2
B. x^2 * cos(y) + 3y^2
C. 2x * sin(y)
D. 2x * sin(y) + 3y^2
24. Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền giới hạn bởi y = x^2 và y = x quanh trục Ox được tính bằng tích phân nào?
A. π ∫[0, 1] (x - x^2)^2 dx
B. π ∫[0, 1] (x^2 - x)^2 dx
C. π ∫[0, 1] (x^2 - (x^2)^2) dx
D. π ∫[0, 1] (x^2 - x^4) dx
25. Đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) theo biến x ký hiệu là gì?
A. dy/dx
B. ∂f/∂y
C. ∂f/∂x
D. df/dx
26. Tính tích phân ∫ e^(2x) dx.
A. e^(2x) + C
B. 2e^(2x) + C
C. (1/2)e^(2x) + C
D. e^x + C
27. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ a_n * (x-c)^n được xác định bởi yếu tố nào?
A. Giá trị của c.
B. Giá trị của x.
C. Hệ số a_n.
D. Số mũ n.
28. Phương pháp tích phân từng phần dựa trên quy tắc đạo hàm nào?
A. Quy tắc đạo hàm của tổng.
B. Quy tắc đạo hàm của tích.
C. Quy tắc đạo hàm của thương.
D. Quy tắc đạo hàm hàm hợp.
29. Giá trị của tích phân suy rộng ∫[1, ∞] (1/x^3) dx bằng bao nhiêu?
A. 1/2
B. 1
C. Hội tụ đến ∞
D. Phân kỳ
30. Chuỗi hình học ∑ ar^n (từ n=0 đến ∞) hội tụ khi nào?
A. |r| > 1
B. |r| ≥ 1
C. |r| < 1
D. r = 1
