1. Giới hạn của hàm số f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) khi x tiến tới 2 là:
A. 0
B. 4
C. Không xác định
D. 1
2. Tích phân bất định ∫ x * sin(x) dx bằng:
A. x * cos(x) + sin(x) + C
B. -x * cos(x) + sin(x) + C
C. x * cos(x) - sin(x) + C
D. -x * cos(x) - sin(x) + C
3. Nếu f`(x) > 0 trên khoảng (a, b) thì hàm số f(x) trên khoảng đó:
A. Nghịch biến
B. Đạt cực đại
C. Đồng biến
D. Đạt cực tiểu
4. Đạo hàm của hàm số y = ln(x) là:
A. 1/x^2
B. x
C. 1/x
D. -1/x
5. Quy tắc L`Hôpital được sử dụng để tính giới hạn dạng nào?
A. 0/∞ và ∞/0
B. 0/0 và ∞/∞
C. 1^∞ và ∞ - ∞
D. 0^0 và ∞^0
6. Cho hàm số y = f(x). Vi phân dy được định nghĩa là:
A. f`(x)dx
B. f`(x) + dx
C. f(x)dx
D. f(x) + f`(x)dx
7. Cho hàm số f(x) và g(x). Đạo hàm của tích (f(x) * g(x)) là:
A. f`(x) * g`(x)
B. f(x) * g`(x) - f`(x) * g(x)
C. f(x) * g`(x) + f`(x) * g(x)
D. f`(x) + g`(x)
8. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Đạo hàm riêng theo x của f(x, y) là:
A. 2y
B. 2x
C. 2x + 2y
D. 0
9. Hàm số f(x) = e^x là hàm số:
A. Chẵn
B. Lẻ
C. Vừa chẵn vừa lẻ
D. Không chẵn, không lẻ
10. Đạo hàm của hàm số hợp y = f(g(x)) là:
A. f`(g(x))
B. g`(f(x))
C. f`(g(x)) * g`(x)
D. f`(x) * g`(x)
11. Giá trị của lim_(x→∞) (1 + 1/x)^x là:
12. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm (x_0, f(x_0)) có dạng:
A. y - f(x_0) = f`(x_0)(x - x_0)
B. y = f`(x_0)(x - x_0)
C. y - f(x) = f`(x_0)(x - x_0)
D. y - f(x_0) = f`(x)(x - x_0)
13. Khẳng định nào sau đây là đúng về tích phân xác định?
A. Tích phân xác định luôn là một hàm số.
B. Tích phân xác định luôn là một số thực.
C. Tích phân xác định là một họ các nguyên hàm.
D. Tích phân xác định không tồn tại nếu hàm số không liên tục.
14. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (1/n^p) hội tụ khi và chỉ khi:
A. p ≤ 1
B. p < 1
C. p > 1
D. p ≥ 1
15. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng về tính liên tục của hàm số?
A. Nếu hàm số có đạo hàm tại một điểm thì nó không liên tục tại điểm đó.
B. Nếu hàm số liên tục tại một điểm thì nó có đạo hàm tại điểm đó.
C. Nếu hàm số có đạo hàm tại một điểm thì nó liên tục tại điểm đó.
D. Hàm số luôn liên tục trên tập xác định của nó.
16. Hàm số f(x) = |x| có đạo hàm tại x = 0 không?
A. Có, và f`(0) = 1
B. Có, và f`(0) = 0
C. Có, và f`(0) = -1
D. Không
17. Cho tích phân ∫_a^b f(x) dx. Nếu đổi biến x = g(t), thì biểu thức nào sau đây là đúng?
A. ∫_a^b f(g(t)) dt
B. ∫_a^b f(g(t))g`(t) dt
C. ∫_(g^(-1)(a))^(g^(-1)(b)) f(g(t)) dt
D. ∫_(g^(-1)(a))^(g^(-1)(b)) f(g(t))g`(t) dt
18. Công thức Taylor khai triển hàm số f(x) tại x = a đến bậc n là:
A. f(x) = f(a) + f`(a)(x-a) + f``(a)(x-a)^2 + ... + f^(n)(a)(x-a)^n + R_n(x)
B. f(x) = f(a) + f`(a)(x-a)/1! + f``(a)(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)
C. f(x) = f(0) + f`(0)x + f``(0)x^2 + ... + f^(n)(0)x^n + R_n(x)
D. f(x) = f(a) + f`(x)(x-a) + f``(x)(x-a)^2 + ... + f^(n)(x)(x-a)^n + R_n(x)
19. Hàm số nào sau đây là hàm số sơ cấp?
A. f(x) = ∫_0^x e^(-t^2) dt
B. f(x) = x^2 + sin(x)
C. f(x) = nghiệm của phương trình vi phân y`` + y = 0
D. f(x) = hàm Dirac delta
20. Giá trị của lim_(x→0) (sin(x))/x là:
A. 0
B. 1
C. ∞
D. Không tồn tại
21. Đạo hàm của hàm số y = x^3 - 2x^2 + 5x - 7 là:
A. 3x^2 - 4x + 5
B. x^2 - 4x + 5
C. 3x^2 - 2x + 5
D. 3x^3 - 4x^2 + 5x
22. Nguyên hàm của hàm số f(x) = cos(x) là:
A. -sin(x) + C
B. sin(x) + C
C. sec^2(x) + C
D. -cos(x) + C
23. Đâu là ứng dụng của tích phân xác định?
A. Tìm đạo hàm của một hàm số
B. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
C. Giải phương trình vi phân cấp hai
D. Tìm cực trị của hàm số
24. Điểm tới hạn của hàm số y = f(x) là điểm mà tại đó:
A. f`(x) > 0
B. f`(x) < 0
C. f`(x) = 0 hoặc f`(x) không xác định
D. f``(x) = 0
25. Hàm số nào sau đây có tiệm cận ngang?
A. y = x^3
B. y = x^2 + x
C. y = (x + 1) / (x - 1)
D. y = √x
26. Hàm số nào sau đây liên tục tại x = 0?
A. f(x) = 1/x
B. f(x) = tan(x)
C. f(x) = sin(x) / x (với f(0) = 1)
D. f(x) = 1 / (x - 1)
27. Cho hàm số f(x) = x^2 + 2x + 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2, 0] là:
28. Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi y = f(x), y = 0, x = a, x = b quanh trục Ox được tính bằng công thức:
A. V = π ∫_a^b f(x) dx
B. V = ∫_a^b π[f(x)]^2 dx
C. V = ∫_a^b f(x) dx
D. V = 2π ∫_a^b xf(x) dx
29. Để tìm cực trị của hàm số một biến, bước đầu tiên cần làm là:
A. Tính đạo hàm bậc hai của hàm số.
B. Tìm các điểm mà đạo hàm bậc nhất bằng 0 hoặc không xác định.
C. Tính giá trị hàm số tại các điểm biên của tập xác định.
D. Vẽ đồ thị hàm số.
30. Định nghĩa chính xác của giới hạn hàm số lim_(x→a) f(x) = L là:
A. Với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε.
B. Với mọi δ > 0, tồn tại ε > 0 sao cho nếu 0 < |x - a| < ε thì |f(x) - L| < δ.
C. Với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε.
D. Với mọi δ > 0, tồn tại ε > 0 sao cho nếu |f(x) - L| < ε thì 0 < |x - a| < δ.
