1. Trong không gian vector R^3, cho vector u = (1, 2, 3) và v = (4, 5, 6). Tích vector (tích có hướng) u x v là:
A. (-3, 6, -3)
B. (3, -6, 3)
C. (0, 0, 0)
D. (14, 32)
2. Vector nào sau đây là vector riêng của ma trận A = [[3, 1], [1, 3]]?
A. (1, 1)
B. (1, -1)
C. (1, 0)
D. (0, 1)
3. Tìm eigenvalue lớn nhất của ma trận A = [[2, 1], [1, 2]].
4. Cho ma trận A = [[1, 2], [3, 4]]. Tính det(A^2).
5. Trong không gian R^3, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và song song với vector v = (4, 5, 6) là:
A. x = 1 + 4t, y = 2 + 5t, z = 3 + 6t
B. x = 4 + t, y = 5 + 2t, z = 6 + 3t
C. x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t
D. x = 4t, y = 5t, z = 6t
6. Cho hàm số f(x, y) = ln(x^2 + y^2). Tính đạo hàm riêng ∂f/∂x.
A. 2x / (x^2 + y^2)
B. 2y / (x^2 + y^2)
C. 1 / (x^2 + y^2)
D. ln(2x)
7. Cho trường vector F(x, y) = (y, -x). Tính div(F) tại điểm (1, 1).
8. Trong không gian R^3, tích vô hướng của hai vector u = (1, -1, 2) và v = (2, 1, -1) là:
9. Trong không gian R^2, phép biến đổi tuyến tính nào sau đây là phép quay một góc 90 độ ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ?
A. [[1, 0], [0, 1]]
B. [[0, -1], [1, 0]]
C. [[-1, 0], [0, -1]]
D. [[0, 1], [-1, 0]]
10. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=1)^∞ (x/2)^n / n là:
A. (-2, 2)
B. [-2, 2)
C. (-2, 2]
D. [-2, 2]
11. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
A. det(A) ≠ 0 và A là ma trận vuông.
B. Hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận mở rộng [A|b] và bằng số ẩn.
C. Các cột của ma trận A độc lập tuyến tính và số cột bằng số ẩn.
D. Ma trận A khả nghịch.
12. Giá trị của tích phân suy rộng ∫_0^∞ e^(-x) dx là:
13. Tính tích phân đường loại 2 ∫_C y dx + x dy, với C là đường tròn x^2 + y^2 = 1, đi ngược chiều kim đồng hồ.
14. Cho tích phân bội hai ∫∫_D xy dA, với D là miền giới hạn bởi y = x^2 và y = x. Giá trị của tích phân là:
A. 1/24
B. 1/12
C. 1/6
D. 1/3
15. Tính tích phân đường loại 1 của hàm f(x, y) = x + y dọc theo đường cong C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).
16. Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp ∂^2f/∂x∂y là:
A. 4xy * e^(x^2 + y^2)
B. 2x * e^(x^2 + y^2)
C. 2y * e^(x^2 + y^2)
D. 4y * e^(x^2 + y^2)
17. Hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy có bao nhiêu điểm dừng?
18. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 + 2xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0)
B. (1, -1)
C. (-1, 1)
D. Hàm số không có điểm dừng.
19. Cho chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (-1)^(n+1) / n^p. Chuỗi này hội tụ tuyệt đối khi:
A. p > 0
B. p ≥ 1
C. p > 1
D. p ≤ 1
20. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1?
A. y`` + y` + y = x^2
B. (y`)^2 + y = sin(x)
C. y` + xy = x^3
D. y` + y*y` = x
21. Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây về định thức của ma trận là ĐÚNG?
A. det(A + B) = det(A) + det(B) với mọi ma trận B vuông cấp n.
B. det(kA) = k * det(A) với mọi số vô hướng k.
C. det(A^T) = -det(A) với A^T là ma trận chuyển vị của A.
D. Nếu det(A) ≠ 0 thì ma trận A khả nghịch.
22. Trong không gian R^3, mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng x + 2y - z = 5?
A. 2x + 4y - 2z = 10
B. -x - 2y + z = 5
C. x - 2y + z = 5
D. x + 2y + z = 5
23. Hệ vector nào sau đây là cơ sở của không gian R^2?
A. {(1, 0), (2, 0)}
B. {(1, 1), (2, 2)}
C. {(1, 0), (0, 1), (1, 1)}
D. {(1, 0), (0, 1)}
24. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3. Vi phân toàn phần df của hàm số là:
A. 3x^2 dx + 3y^2 dy
B. 3x^2 dx - 3y^2 dy
C. x^2 dx + y^2 dy
D. x^3 dx + y^3 dy
25. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tách biến?
A. dy/dx = x + y
B. dy/dx = xy + x
C. dy/dx = x/y + 1
D. dy/dx = x^2 * y^2
26. Cho ma trận A vuông cấp 3 có định thức det(A) = 2. Tính định thức của ma trận 2A.
27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x^2 và y = 2x.
A. 4/3
B. 2/3
C. 8/3
D. 1/3
28. Cho hàm số f(x, y) = xy. Tìm giá trị lớn nhất của f trên miền D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≤ 1}.
29. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Gradient của f tại điểm (1, 2) là:
A. (1, 2)
B. (2, 4)
C. (4, 2)
D. (5, 5)
30. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y`` - 4y` + 4y = 0 là:
A. y = C1*e^(2x) + C2*e^(-2x)
B. y = C1*cos(2x) + C2*sin(2x)
C. y = C1*e^(2x) + C2*x*e^(2x)
D. y = C1 + C2*e^(4x)
