Đề thi, bài tập trắc nghiệm online Toán cao cấp 2 – Đề 15

1. Trong không gian vector R^3, cho vector u = (1, 2, 3) và v = (4, 5, 6). Tích vector (tích có hướng) u x v là:

A. (-3, 6, -3)

B. (3, -6, 3)

C. (0, 0, 0)

D. (14, 32)

2. Vector nào sau đây là vector riêng của ma trận A = [[3, 1], [1, 3]]?

A. (1, 1)

B. (1, -1)

C. (1, 0)

D. (0, 1)

3. Tìm eigenvalue lớn nhất của ma trận A = [[2, 1], [1, 2]].

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

4. Cho ma trận A = [[1, 2], [3, 4]]. Tính det(A^2).

A. 4

B. 1

C. -4

D. 100

5. Trong không gian R^3, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và song song với vector v = (4, 5, 6) là:

A. x = 1 + 4t, y = 2 + 5t, z = 3 + 6t

B. x = 4 + t, y = 5 + 2t, z = 6 + 3t

C. x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t

D. x = 4t, y = 5t, z = 6t

6. Cho hàm số f(x, y) = ln(x^2 + y^2). Tính đạo hàm riêng ∂f/∂x.

A. 2x / (x^2 + y^2)

B. 2y / (x^2 + y^2)

C. 1 / (x^2 + y^2)

D. ln(2x)

7. Cho trường vector F(x, y) = (y, -x). Tính div(F) tại điểm (1, 1).

A. 0

B. 2

C. -2

D. 1

8. Trong không gian R^3, tích vô hướng của hai vector u = (1, -1, 2) và v = (2, 1, -1) là:

A. 0

B. -1

C. 1

D. 2

9. Trong không gian R^2, phép biến đổi tuyến tính nào sau đây là phép quay một góc 90 độ ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ?

A. [[1, 0], [0, 1]]

B. [[0, -1], [1, 0]]

C. [[-1, 0], [0, -1]]

D. [[0, 1], [-1, 0]]

10. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=1)^∞ (x/2)^n / n là:

A. (-2, 2)

B. [-2, 2)

C. (-2, 2]

D. [-2, 2]

11. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

A. det(A) ≠ 0 và A là ma trận vuông.

B. Hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận mở rộng [A|b] và bằng số ẩn.

C. Các cột của ma trận A độc lập tuyến tính và số cột bằng số ẩn.

D. Ma trận A khả nghịch.

12. Giá trị của tích phân suy rộng ∫_0^∞ e^(-x) dx là:

A. 1

B. 0

C. ∞

D. -1

13. Tính tích phân đường loại 2 ∫_C y dx + x dy, với C là đường tròn x^2 + y^2 = 1, đi ngược chiều kim đồng hồ.

A. 2π

B. π

C. 0

D. -2π

14. Cho tích phân bội hai ∫∫_D xy dA, với D là miền giới hạn bởi y = x^2 và y = x. Giá trị của tích phân là:

A. 1/24

B. 1/12

C. 1/6

D. 1/3

15. Tính tích phân đường loại 1 của hàm f(x, y) = x + y dọc theo đường cong C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).

A. 2

B. √2

C. 2√2

D. 1

16. Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp ∂^2f/∂x∂y là:

A. 4xy * e^(x^2 + y^2)

B. 2x * e^(x^2 + y^2)

C. 2y * e^(x^2 + y^2)

D. 4y * e^(x^2 + y^2)

17. Hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy có bao nhiêu điểm dừng?

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

18. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 + 2xy. Điểm dừng của hàm số này là:

A. (0, 0)

B. (1, -1)

C. (-1, 1)

D. Hàm số không có điểm dừng.

19. Cho chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (-1)^(n+1) / n^p. Chuỗi này hội tụ tuyệt đối khi:

A. p > 0

B. p ≥ 1

C. p > 1

D. p ≤ 1

20. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1?

A. y'' + y' + y = x^2

B. (y')^2 + y = sin(x)

C. y' + xy = x^3

D. y' + y*y' = x

21. Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây về định thức của ma trận là ĐÚNG?

A. det(A + B) = det(A) + det(B) với mọi ma trận B vuông cấp n.

B. det(kA) = k * det(A) với mọi số vô hướng k.

C. det(A^T) = -det(A) với A^T là ma trận chuyển vị của A.

D. Nếu det(A) ≠ 0 thì ma trận A khả nghịch.

22. Trong không gian R^3, mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng x + 2y - z = 5?

A. 2x + 4y - 2z = 10

B. -x - 2y + z = 5

C. x - 2y + z = 5

D. x + 2y + z = 5

23. Hệ vector nào sau đây là cơ sở của không gian R^2?

A. {(1, 0), (2, 0)}

B. {(1, 1), (2, 2)}

C. {(1, 0), (0, 1), (1, 1)}

D. {(1, 0), (0, 1)}

24. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3. Vi phân toàn phần df của hàm số là:

A. 3x^2 dx + 3y^2 dy

B. 3x^2 dx - 3y^2 dy

C. x^2 dx + y^2 dy

D. x^3 dx + y^3 dy

25. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tách biến?

A. dy/dx = x + y

B. dy/dx = xy + x

C. dy/dx = x/y + 1

D. dy/dx = x^2 * y^2

26. Cho ma trận A vuông cấp 3 có định thức det(A) = 2. Tính định thức của ma trận 2A.

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x^2 và y = 2x.

A. 4/3

B. 2/3

C. 8/3

D. 1/3

28. Cho hàm số f(x, y) = xy. Tìm giá trị lớn nhất của f trên miền D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≤ 1}.

A. 1/2

B. 1

C. √2/2

D. 2

29. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Gradient của f tại điểm (1, 2) là:

A. (1, 2)

B. (2, 4)

C. (4, 2)

D. (5, 5)

30. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y'' - 4y' + 4y = 0 là:

A. y = C1*e^(2x) + C2*e^(-2x)

B. y = C1*cos(2x) + C2*sin(2x)

C. y = C1*e^(2x) + C2*x*e^(2x)

D. y = C1 + C2*e^(4x)