1. Giá trị riêng của ma trận đơn vị cấp 2 là:
A. 1 (giá trị riêng kép)
B. 0 và 1
C. 1 và -1
D. 0 (giá trị riêng kép)
2. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất?
A. y` + xy = x^2
B. y`` + y^2 = sin(x)
C. (y`)^2 + y = x
D. yy` + x = 0
3. Cho phương trình vi phân y`` - 4y` + 4y = 0. Nghiệm tổng quát của phương trình này là:
A. y = C_1e^(2x) + C_2xe^(2x)
B. y = C_1e^(2x) + C_2e^(-2x)
C. y = C_1cos(2x) + C_2sin(2x)
D. y = C_1e^(4x) + C_2e^(-x)
4. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5. Hàm số này có:
A. Cực tiểu tại (1, 2)
B. Cực đại tại (1, 2)
C. Không có cực trị
D. Điểm dừng không là cực trị
5. Hệ phương trình tuyến tính Ax = b có nghiệm duy nhất khi nào?
A. det(A) ≠ 0
B. det(A) = 0
C. b = 0
D. A là ma trận vuông
6. Giá trị của tích phân ∫_0^(2π) cos(nx) dx với n là số nguyên khác 0 là:
7. Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Đạo hàm riêng cấp hai ∂^2f/∂x∂y tại điểm (0, 0) là:
8. Cho hàm số z = f(x, y), vi phân toàn phần dz được tính bởi công thức nào sau đây?
A. dz = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
B. dz = (∂f/∂x)dx - (∂f/∂y)dy
C. dz = (∂f/∂y)dx + (∂f/∂x)dy
D. dz = (∂^2f/∂x^2)dx + (∂^2f/∂y^2)dy
9. Điều kiện để hàm số f(x, y) đạt cực đại địa phương tại điểm (x_0, y_0) là:
A. f_x(x_0, y_0) = 0, f_y(x_0, y_0) = 0 và D(x_0, y_0) > 0, f_{xx}(x_0, y_0) < 0
B. f_x(x_0, y_0) = 0, f_y(x_0, y_0) = 0 và D(x_0, y_0) > 0, f_{xx}(x_0, y_0) > 0
C. f_x(x_0, y_0) = 0, f_y(x_0, y_0) = 0 và D(x_0, y_0) < 0
D. f_x(x_0, y_0) = 0, f_y(x_0, y_0) ≠ 0
10. Trong phép chiếu trực giao từ R^3 lên mặt phẳng xy, vectơ (x, y, z) được chiếu thành vectơ nào?
A. (x, y, 0)
B. (0, 0, z)
C. (x, 0, 0)
D. (0, y, 0)
11. Không gian con sinh bởi các vectơ (1, 2, 3) và (2, 4, 6) trong R^3 có số chiều là:
12. Chuỗi Taylor của hàm số sin(x) tại x = 0 là:
A. ∑_(n=0)^∞ (-1)^n * (x^(2n+1)) / ((2n+1)!)
B. ∑_(n=0)^∞ (x^n) / (n!)
C. ∑_(n=0)^∞ (-1)^n * (x^(2n)) / ((2n)!)
D. ∑_(n=0)^∞ (x^(2n+1)) / ((2n+1)!)
13. Cho chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ a_n(x-c)^n. Bán kính hội tụ R của chuỗi được xác định bởi công thức nào?
A. R = 1 / lim sup |a_(n+1)/a_n|
B. R = lim sup |a_(n+1)/a_n|
C. R = lim sup |a_n|^(1/n)
D. R = lim sup |a_n|
14. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y`` - y = e^x có dạng nào?
A. y_p = Axe^x
B. y_p = Ae^x
C. y_p = Ax^2e^x
D. y_p = Asin(x)
15. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
16. Trong không gian R^3, phương trình x^2 + y^2 = 1 biểu diễn hình gì?
A. Mặt trụ tròn
B. Mặt cầu
C. Đường tròn
D. Mặt paraboloid
17. Trong không gian vectơ R^3, vectơ nào sau đây độc lập tuyến tính với vectơ (1, 0, 0) và (0, 1, 0)?
A. (0, 0, 1)
B. (2, 0, 0)
C. (1, 1, 0)
D. (2, 2, 0)
18. Tích phân đường loại 1 ∫_C (x + y) ds, với C là đoạn thẳng nối điểm A(0, 0) đến B(1, 1) có giá trị là:
A. √2
B. 2√2
C. 1/√2
D. 1
19. Tích phân ∫_0^(+∞) e^(-x) dx hội tụ hay phân kỳ? Nếu hội tụ, giá trị của nó là bao nhiêu?
A. Hội tụ, giá trị là 1
B. Phân kỳ
C. Hội tụ, giá trị là 0
D. Hội tụ, giá trị là -1
20. Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân bội hai
B. Tích phân đường và tích phân bội ba
C. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
D. Tích phân mặt và tích phân bội ba
21. Tích phân đường ∫_C P dx + Q dy độc lập đường đi khi nào?
A. ∂P/∂y = ∂Q/∂x
B. ∂P/∂x = ∂Q/∂y
C. P = Q
D. P = -Q
22. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (1/n^p) hội tụ khi và chỉ khi:
A. p > 1
B. p ≥ 1
C. p < 1
D. p ≤ 1
23. Phương trình vi phân y`` + ω^2y = 0 (ω > 0) mô tả hiện tượng vật lý nào?
A. Dao động điều hòa
B. Dao động tắt dần
C. Dao động cưỡng bức
D. Chuyển động thẳng đều
24. Trong tọa độ cực (r, θ), Jacobian của phép biến đổi sang tọa độ Descartes (x, y) là:
A. r
B. r^2
C. 1/r
D. sin(θ)cos(θ)
25. Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây là đúng về hạng của ma trận (rank(A))?
A. rank(A) là số chiều của không gian cột của A
B. rank(A) là số chiều của không gian nghiệm của Ax = 0
C. rank(A) luôn bằng n
D. rank(A) luôn bằng 0
26. Tính hội tụ của chuỗi ∑_(n=1)^∞ (-1)^n / n. Chuỗi này:
A. Hội tụ có điều kiện
B. Hội tụ tuyệt đối
C. Phân kỳ
D. Hội tụ về 0
27. Tìm giới hạn của dãy số a_n = (n^2 + 1) / (2n^2 - 3). Giới hạn này là:
A. 1/2
B. 1
C. 0
D. Vô cùng
28. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tách biến?
A. dy/dx = x^2y
B. dy/dx = x + y
C. dy/dx = xy + 1
D. dy/dx = x^2 + y^2
29. Tích phân bội hai ∫∫_D xy dA, với D là miền giới hạn bởi x = 0, y = 0, x + y = 1 có giá trị là:
A. 1/24
B. 1/6
C. 1/12
D. 1/2
30. Ma trận A = [[1, 2], [2, 1]] có định thức bằng:
