1. Tích phân mặt ∫∫S F⋅dS, với S là mặt kín, biểu diễn điều gì theo định lý Divergence?
A. Thông lượng (flux) của trường vector F xuyên qua mặt S.
B. Công của trường vector F dọc theo biên của S.
C. Độ xoáy (curl) của trường vector F trên mặt S.
D. Gradient của trường vector F bên trong S.
2. Giá trị riêng (eigenvalue) của ma trận A là gì?
A. Một vector v khác vector 0 sao cho Av = λv với một số vô hướng λ.
B. Một số vô hướng λ sao cho tồn tại vector v khác vector 0 thỏa mãn Av = λv.
C. Định thức của ma trận A.
D. Vết của ma trận A.
3. Cho hàm số f(x, y) = x^2y + sin(x) - 3y. Đạo hàm riêng cấp hai ∂^2f/∂x∂y bằng biểu thức nào?
A. 2x - 3cos(x)
B. 2x
C. 2y - cos(x)
D. 2x + cos(x)
4. Trong không gian vector R^3, cho hai vector u = (1, 2, -1) và v = (0, -1, 3). Tích có hướng (vector product) của u và v là vector nào?
A. (5, -3, -1)
B. (5, 3, -1)
C. (-5, 3, 1)
D. (-5, -3, 1)
5. Tính định thức của ma trận 2x2: [[a, b], [c, d]].
A. ac - bd
B. ad - bc
C. ab - cd
D. bc - ad
6. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất khi nào?
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0 và hạng(A) < hạng([A|b])
C. det(A) ≠ 0
D. hạng(A) < hạng([A|b])
7. Ma trận đường chéo hóa được khi nào?
A. Khi nó là ma trận vuông.
B. Khi nó có đủ số lượng vector riêng độc lập tuyến tính bằng với cấp của ma trận.
C. Khi tất cả các giá trị riêng của nó đều khác nhau.
D. Khi nó là ma trận đối xứng.
8. Tính curl của trường vector F(x, y, z) = (y, -x, z).
A. (0, 0, -2)
B. (0, 0, 2)
C. (1, -1, 0)
D. (-1, 1, 0)
9. Hàm số f(x, y) được gọi là khả vi tại điểm (x0, y0) nếu...
A. Các đạo hàm riêng ∂f/∂x và ∂f/∂y tồn tại tại (x0, y0).
B. Các đạo hàm riêng ∂f/∂x và ∂f/∂y liên tục tại (x0, y0).
C. f(x, y) liên tục tại (x0, y0).
D. f(x, y) có giới hạn tại (x0, y0).
10. Trong không gian R^3, mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng x + 2y - z = 5?
A. 2x + 4y - 2z = 10
B. -x - 2y + z = 5
C. x + 2y + z = 5
D. x - 2y + z = 5
11. Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch (invertible) khi nào?
A. Khi định thức của A bằng 0.
B. Khi định thức của A khác 0.
C. Khi tất cả các phần tử của A đều khác 0.
D. Khi A là ma trận đơn vị.
12. Trong không gian R^3, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M(1, -2, 3) và song song với vector chỉ phương v = (2, 0, -1) là:
A. x = 1 + 2t, y = -2, z = 3 - t
B. x = 1 - 2t, y = -2, z = 3 + t
C. x = 1 + t, y = -2 - 2t, z = 3 - t
D. x = 2 + t, y = 0 - 2t, z = -1 + 3t
13. Tính tích phân bội hai ∫∫R (x + y) dA, với R là miền hình chữ nhật [0, 1] × [0, 2].
14. Trong không gian vector R^n, cơ sở (basis) là gì?
A. Một tập hợp sinh (spanning set) của R^n.
B. Một tập hợp độc lập tuyến tính trong R^n.
C. Một tập hợp con của R^n chứa vector 0.
D. Một tập hợp vừa sinh (spanning) vừa độc lập tuyến tính của R^n.
15. Vector pháp tuyến của mặt cong z = f(x, y) tại điểm (x0, y0, f(x0, y0)) là vector nào?
A. (∂f/∂x(x0, y0), ∂f/∂y(x0, y0), -1)
B. (-∂f/∂x(x0, y0), -∂f/∂y(x0, y0), 1)
C. (∂f/∂x(x0, y0), -∂f/∂y(x0, y0), 1)
D. (-∂f/∂x(x0, y0), ∂f/∂y(x0, y0), -1)
16. Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Gradient của f tại điểm (1, 0) là vector nào?
A. (2e, 0)
B. (2, 0)
C. (e, 0)
D. (0, 2e)
17. Định lý Green liên hệ tích phân đường trên đường cong kín C với tích phân nào trên miền D được bao bởi C?
A. Tích phân đường loại 2.
B. Tích phân mặt.
C. Tích phân bội hai.
D. Tích phân bội ba.
18. Trong không gian vector, tích vô hướng (dot product) của hai vector u và v bằng 0 khi nào?
A. Khi u và v cùng hướng.
B. Khi u và v ngược hướng.
C. Khi u và v vuông góc với nhau.
D. Khi u hoặc v là vector đơn vị.
19. Tích phân bội ba ∫∫∫V dV biểu diễn điều gì?
A. Diện tích của miền V.
B. Thể tích của miền V.
C. Độ dài đường biên của miền V.
D. Tổng các tọa độ của miền V.
20. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z = 7?
A. x = 2 + t, y = -1 - t, z = 3 + t
B. x = 2 + 2t, y = -1 - t, z = 3 + 3t
C. x = 2 + 3t, y = -1 - t, z = 3 + 2t
D. x = 2 - 2t, y = -1 + t, z = 3 - 3t
21. Cho trường vector F(x, y, z) = (2x, y^2, z^3). Tính divergence (toán tử phân kỳ) của F.
A. 2 + 2y + 3z^2
B. 2x + 2y + 3z^2
C. 2 + y + z
D. 2xy + y^2z + z^3x
22. Chuẩn hóa (normalize) vector v = (3, -4) trong R^2 là vector nào?
A. (3/5, -4/5)
B. (4/5, -3/5)
C. (3/7, -4/7)
D. (5, -5)
23. Công thức Stokes liên hệ tích phân đường trên đường cong kín C với tích phân nào trên mặt S có biên là C?
A. Tích phân bội hai.
B. Tích phân đường loại 2.
C. Tích phân mặt của curl.
D. Tích phân bội ba.
24. Tính tích phân bất định ∫ cos(2x) dx.
A. sin(2x) + C
B. 2sin(2x) + C
C. (1/2)sin(2x) + C
D. -(1/2)sin(2x) + C
25. Trong phép biến đổi Laplace, Laplace của đạo hàm f`(t) là gì?
A. sF(s) - f(0)
B. F(s) - f(0)
C. sF(s)
D. F(s)/s
26. Trong phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị có điều kiện của hàm f(x, y) với ràng buộc g(x, y) = c, ta cần giải hệ phương trình nào?
A. ∇f = λ∇g và g(x, y) = c
B. ∇f = 0 và g(x, y) = c
C. ∇g = 0 và f(x, y) = c
D. ∇f + ∇g = 0 và g(x, y) = c
27. Điều kiện cần và đủ để một trường vector F là trường bảo toàn (conservative vector field) trên một miền liên thông đơn (simply connected domain) là gì?
A. Divergence của F bằng 0.
B. Curl của F bằng 0.
C. Độ lớn của F là hằng số.
D. F có thế vô hướng dương.
28. Tích phân đường loại 2 ∫C Pdx + Qdy, với C là đường cong tham số r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, được tính bằng công thức nào?
A. ∫[a, b] (P(x(t), y(t))x`(t) - Q(x(t), y(t))y`(t)) dt
B. ∫[a, b] (P(x(t), y(t))y`(t) + Q(x(t), y(t))x`(t)) dt
C. ∫[a, b] (P(x(t), y(t))x`(t) + Q(x(t), y(t))y`(t)) dt
D. ∫[a, b] (P(x(t), y(t)) + Q(x(t), y(t))) dt
29. Hạng của ma trận là gì?
A. Số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tương ứng.
B. Số cột của ma trận.
C. Số dòng khác không tối đa trong dạng bậc thang rút gọn của ma trận.
D. Định thức của ma trận.
30. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là điểm nào?
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. (-1, 0) và (0, -1)
