1. Trong phép tính tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA, miền D được cho bởi 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x. Thứ tự tích phân nào sau đây là đúng?
A. ∫_0^1 ∫_0^x f(x, y) dy dx
B. ∫_0^x ∫_0^1 f(x, y) dx dy
C. ∫_0^1 ∫_0^1 f(x, y) dy dx
D. ∫_0^x ∫_0^1 f(x, y) dy dx
2. Đạo hàm riêng cấp hai của hàm số f(x, y) = sin(xy) theo x hai lần, f_xx, là:
A. -y^2*sin(xy)
B. y^2*sin(xy)
C. -x^2*sin(xy)
D. x^2*sin(xy)
3. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ ((x-2)^n / n) là:
A. [1, 3)
B. (1, 3]
C. [1, 3]
D. (1, 3)
4. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng?
A. y`` + x*y` + y = 0
B. y`` + (y`)^2 + y = 0
C. y`` + 2y` + y = sin(x)
D. y``*y` + y = 0
5. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Đạo hàm theo hướng của f tại điểm (1, 1) theo hướng vectơ u = (1, 1) là:
6. Chuỗi số ∑ (1/n^α) hội tụ khi và chỉ khi:
A. α > 1
B. α ≥ 1
C. α < 1
D. α ≤ 1
7. Ma trận nào sau đây là ma trận khả nghịch?
A. [[1, 2], [2, 4]]
B. [[1, 2], [0, 0]]
C. [[1, 2], [2, 1]]
D. [[0, 0], [1, 2]]
8. Trong không gian R^2, phép biến đổi tuyến tính nào sau đây là phép quay quanh gốc tọa độ?
A. T(x, y) = (x + y, x - y)
B. T(x, y) = (2x, 2y)
C. T(x, y) = (cos(θ)x - sin(θ)y, sin(θ)x + cos(θ)y)
D. T(x, y) = (x + 1, y + 1)
9. Cho trường vectơ F = (P, Q). Điều kiện để trường vectơ F là trường thế (trường bảo toàn) là:
A. ∂P/∂y = ∂Q/∂x
B. ∂P/∂x = ∂Q/∂y
C. ∂P/∂x + ∂Q/∂y = 0
D. ∂P/∂y + ∂Q/∂x = 1
10. Cho hàm số f(x, y) = √(x^2 + y^2). Hàm số này không khả vi tại điểm nào?
A. (0, 0)
B. (1, 1)
C. (1, 0)
D. (0, 1)
11. Hệ phương trình tuyến tính nào sau đây có nghiệm duy nhất?
A. {x + y = 1, 2x + 2y = 2}
B. {x + y = 1, x + y = 2}
C. {x + y = 1, x - y = 0}
D. {x = 0, y = 0}
12. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x trên mặt phẳng xy.
A. Cực tiểu tại (1, 0)
B. Cực đại tại (1, 0)
C. Không có cực trị
D. Vừa cực đại vừa cực tiểu
13. Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Vi phân toàn phần df của hàm số là:
A. df = 2x*e^(x^2 + y^2) dx + 2y*e^(x^2 + y^2) dy
B. df = e^(x^2 + y^2) dx + e^(x^2 + y^2) dy
C. df = 2x dx + 2y dy
D. df = e^(2x) dx + e^(2y) dy
14. Phương trình nào sau đây là phương trình Laplace?
A. ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0
B. ∂u/∂t - α(∂^2u/∂x^2) = 0
C. ∂^2u/∂t^2 - c^2(∂^2u/∂x^2) = 0
D. ∂u/∂t + c(∂u/∂x) = 0
15. Tích phân ∫_0^(+∞) e^(-x) dx bằng:
16. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = xy trên miền D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≤ 1} là:
A. 1/2
B. 1
C. 2
D. Không có giá trị lớn nhất
17. Chuỗi lũy thừa ∑ (x^n / n!) có bán kính hội tụ là:
18. Tính tích phân đường loại 2 của trường vectơ F = (y, x) dọc theo đường cong C là đoạn thẳng từ điểm A(0, 0) đến B(1, 1).
19. Giá trị riêng của ma trận A = [[2, 1], [1, 2]] là:
A. λ = 1 và λ = 3
B. λ = -1 và λ = -3
C. λ = 0 và λ = 2
D. λ = 2 (giá trị riêng kép)
20. Tính curl của trường vectơ F = (yz, xz, xy).
A. (0, 0, 0)
B. (x, y, z)
C. (1, 1, 1)
D. (yz, xz, xy)
21. Tích phân ∫_C (x^2 + y^2) ds, với C là đường tròn x^2 + y^2 = 1, bằng:
22. Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây về định thức của ma trận là đúng?
A. det(A + B) = det(A) + det(B)
B. det(cA) = c*det(A), với c là hằng số
C. det(A^T) = det(A)
D. det(A*B) = det(A) / det(B)
23. Cho phương trình vi phân y`` - 3y` + 2y = 0. Nghiệm tổng quát của phương trình là:
A. y = C1*e^x + C2*e^(2x)
B. y = C1*e^(-x) + C2*e^(-2x)
C. y = C1*cos(x) + C2*sin(x)
D. y = C1 + C2*x
24. Tính phân kỳ của trường vectơ F = (x^2, y^2, z^2) tại điểm (1, 1, 1).
25. Trong không gian vectơ R^3, vectơ nào sau đây độc lập tuyến tính với vectơ u = (1, 2, 3) và v = (0, 1, 1)?
A. w = (1, 3, 4)
B. w = (2, 4, 6)
C. w = (1, 0, 0)
D. w = (0, 3, 3)
26. Hạng của ma trận A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6]] là:
27. Điều kiện cần để chuỗi số ∑ a_n hội tụ là:
A. lim_(n→∞) a_n = 0
B. lim_(n→∞) a_n = 1
C. ∑ |a_n| hội tụ
D. a_n > 0 với mọi n
28. Trong không gian R^3, phương trình x^2 + y^2 = 1 biểu diễn hình gì?
A. Mặt trụ tròn xoay
B. Mặt cầu
C. Hình tròn
D. Mặt paraboloid
29. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y` + 2y = e^(-2x) là:
A. x*e^(-2x)
B. e^(-2x)
C. x^2*e^(-2x)
D. Không có nghiệm riêng dạng này
30. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
