1. Cho hàm số f(x, y) = x²y + xy². Đạo hàm riêng cấp một của f theo x là:
A. 2xy + y²
B. x² + 2xy
C. 2x + 2y
D. x²y + xy²
2. Trong không gian Oxyz, tích có hướng của hai vectơ a = (1, 2, 3) và b = (4, 5, 6) là vectơ nào?
A. (-3, 6, -3)
B. (3, -6, 3)
C. (3, 6, 3)
D. (-3, -6, -3)
3. Trong không gian Oxyz, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x - y + 3z - 5 = 0 là:
A. (2, -1, 3)
B. (2, 1, 3)
C. (-2, 1, -3)
D. (1, -1/2, 3/2)
4. Trong không gian Oxyz, phương trình x² + y² = 4 biểu diễn hình gì?
A. Đường tròn
B. Mặt cầu
C. Mặt trụ tròn
D. Hình nón
5. Giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình nào?
A. det(A) = 0
B. det(A - λI) = 0
C. tr(A - λI) = 0
D. det(A + λI) = 0
6. Hàm số f(x, y) có cực đại địa phương tại (x₀, y₀) khi nào?
A. f_x(x₀, y₀) = 0 và f_xx(x₀, y₀) > 0
B. f_x(x₀, y₀) = 0, f_y(x₀, y₀) = 0 và định thức Hessian tại (x₀, y₀) > 0 và f_xx(x₀, y₀) < 0
C. f_x(x₀, y₀) = 0, f_y(x₀, y₀) = 0 và định thức Hessian tại (x₀, y₀) < 0
D. f_x(x₀, y₀) = 0 và f_xx(x₀, y₀) < 0
7. Ma trận đường chéo hóa được khi nào?
A. Luôn luôn đường chéo hóa được
B. Khi và chỉ khi có đủ số lượng vectơ riêng độc lập tuyến tính
C. Khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng phân biệt
D. Khi và chỉ khi định thức khác 0
8. Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M(1, 1, 1) và có vectơ chỉ phương u = (2, -1, 3) là:
A. x = 1 + 2t, y = 1 - t, z = 1 + 3t
B. x = 2 + t, y = -1 + t, z = 3 + t
C. x = 1 + t, y = 1 + t, z = 1 + t
D. x = 2t, y = -t, z = 3t
9. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(1, 2, 3) đến mặt phẳng (Oxy) là:
10. Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (1/n^α) hội tụ khi nào?
A. α > 1
B. α < 1
C. α ≥ 1
D. α ≤ 1
11. Công thức nào sau đây là công thức Green?
A. ∮_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA
B. ∮_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂P/∂x + ∂Q/∂y) dA
C. ∮_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂P/∂y - ∂Q/∂x) dA
D. ∮_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂Q/∂y - ∂P/∂x) dA
12. Điều kiện hội tụ của chuỗi số dương ∑ a_n theo tiêu chuẩn D`Alembert là:
A. lim_(n→∞) (a_(n+1) / a_n) < 1
B. lim_(n→∞) (a_(n+1) / a_n) > 1
C. lim_(n→∞) (a_(n+1) / a_n) = 1
D. lim_(n→∞) (a_(n+1) / a_n) = ∞
13. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y`` + 4y = 0 là:
A. y = C₁cos(2x) + C₂sin(2x)
B. y = C₁e^(2x) + C₂e^(-2x)
C. y = C₁cos(4x) + C₂sin(4x)
D. y = C₁e^(4x) + C₂e^(-4x)
14. Đạo hàm của hàm vectơ r(t) = (x(t), y(t), z(t)) biểu diễn điều gì?
A. Vị trí của chất điểm
B. Vận tốc của chất điểm
C. Gia tốc của chất điểm
D. Quỹ đạo của chất điểm
15. Tích phân suy rộng loại 1 ∫_(a)^∞ f(x) dx hội tụ khi nào?
A. lim_(b→∞) ∫_(a)^b f(x) dx tồn tại hữu hạn
B. lim_(b→∞) ∫_(a)^b f(x) dx = ∞
C. ∫_(a)^b f(x) dx tồn tại với mọi b
D. f(x) → 0 khi x → ∞
16. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ (x/2)^n là:
A. (-2, 2)
B. [-2, 2]
C. (-1, 1)
D. [-1, 1]
17. Chuỗi Taylor của hàm số e^x tại x = 0 là:
A. ∑_(n=0)^∞ x^n / n!
B. ∑_(n=0)^∞ (-1)^n x^n / n!
C. ∑_(n=0)^∞ x^(2n) / (2n)!
D. ∑_(n=0)^∞ (-1)^n x^(2n) / (2n)!
18. Tích phân ∫∫∫_V dV trong hệ tọa độ cầu tính đại lượng nào?
A. Diện tích bề mặt V
B. Thể tích khối V
C. Độ dài đường cong trong V
D. Mômen quán tính của khối V
19. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt phẳng?
A. x² + y² + z² = 1
B. x + y + z = 1
C. xy + yz + zx = 1
D. x³ + y³ + z³ = 1
20. Hàm số f(x, y) = ln(x² + y²) xác định trên miền nào?
A. R²
B. R² {(0, 0)}
C. x² + y² > 0
D. x² + y² ≥ 0
21. Tính chất tuyến tính của phép biến đổi Laplace phát biểu rằng:
A. L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)}
B. L{f(at)} = aL{f(t)}
C. L{f(t-a)} = e^(-as)L{f(t)}
D. L{e^(at)f(t)} = F(s-a)
22. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tách biến?
A. y` = x + y
B. y` = xy + x
C. y` = xy
D. y` = x² + y²
23. Cho hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (0, 0) và (1, -1)
D. (1, 1) và (-1, -1)
24. Tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA biểu diễn điều gì?
A. Diện tích miền D
B. Thể tích khối trụ có đáy D và chiều cao z = f(x, y)
C. Độ dài đường biên của miền D
D. Giá trị trung bình của hàm số f(x, y) trên miền D
25. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?
A. y`` + y`² + y = x
B. y` + xy = x²
C. yy` + y = x
D. y` = √(y + x)
26. Trong phép biến đổi Laplace, Laplace của đạo hàm f`(t) là:
A. sF(s) - f(0)
B. sF(s)
C. F(s) - f(0)
D. F(s)/s
27. Điều kiện cần để một trường vectơ F là trườngGradient (trường thế) là gì?
A. div F = 0
B. curl F = 0
C. F = 0
D. F ≠ 0
28. Gradient của hàm số f(x, y, z) tại một điểm cho biết điều gì?
A. Hướng thay đổi chậm nhất của hàm số
B. Hướng thay đổi nhanh nhất của hàm số
C. Độ lớn của sự thay đổi của hàm số theo mọi hướng
D. Giá trị lớn nhất của hàm số
29. Tích phân đường loại 1 ∫_C f(x, y) ds tính đại lượng nào?
A. Diện tích miền giới hạn bởi C
B. Thể tích khối trụ có đáy C
C. Mômen tĩnh của đường cong C
D. Khối lượng của dây có dạng đường cong C với mật độ khối lượng f(x, y)
30. Công thức đổi biến trong tích phân bội hai từ tọa độ Cartesian sang tọa độ cực là:
A. dx dy = r dr dθ
B. dx dy = dr dθ
C. dx dy = r² dr dθ
D. dx dy = ρ² sinφ dρ dφ dθ
