1. Phương pháp nào sau đây thường được sử dụng để giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng?
A. Phương pháp tách biến
B. Phương pháp hệ số bất định và phương pháp biến thiên tham số
C. Phương pháp Euler
D. Phương pháp lặp Picard
2. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
3. Tính tích phân suy rộng ∫[1, ∞) (1/x^2) dx.
4. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y` = 2x biết y(1) = 2.
A. y = x^2 + 1
B. y = x^2
C. y = 2x^2
D. y = x + 1
5. Định nghĩa nào sau đây là đúng về không gian vectơ con?
A. Một tập con khác rỗng của không gian vectơ, đóng kín với phép cộng vectơ và phép nhân với số vô hướng.
B. Một tập con bất kỳ của không gian vectơ.
C. Một tập con của không gian vectơ chỉ đóng kín với phép cộng vectơ.
D. Một tập con của không gian vectơ chỉ chứa vectơ không.
6. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = [[2, 1], [3, 2]].
A. [[2, -1], [-3, 2]]
B. [[2, 1], [3, 2]]
C. [[-2, 1], [3, -2]]
D. [[-2, -1], [-3, -2]]
7. Ma trận nào sau đây là ma trận đường chéo?
A. [[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]
B. [[1, 2, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]
C. [[1, 0, 1], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]
D. [[1, 0, 0], [1, 2, 0], [0, 0, 3]]
8. Đường cong mức của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 là họ đường cong nào?
A. Đường tròn đồng tâm
B. Đường thẳng song song
C. Parabol
D. Hyperbol
9. Cho hàm số f(x, y) = x^2y + xy^2. Tính đạo hàm riêng cấp hai ∂^2f/∂x∂y.
A. 2x + 2y
B. 4xy
C. 2y + 2x
D. 2x
10. Cho phương trình vi phân y`` - 3y` + 2y = 0. Nghiệm tổng quát của phương trình này là:
A. y = C1e^x + C2e^(2x)
B. y = C1e^(-x) + C2e^(-2x)
C. y = C1cos(x) + C2sin(x)
D. y = C1 + C2e^(2x)
11. Trong không gian R^3, mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng xOy?
A. x + y = 1
B. z = 3
C. x = 0
D. y = 0
12. Cho phương trình vi phân y`` + 4y = 0. Nghiệm tổng quát của phương trình này là:
A. y = C1cos(2x) + C2sin(2x)
B. y = C1e^(2x) + C2e^(-2x)
C. y = C1cos(4x) + C2sin(4x)
D. y = C1e^(4x) + C2e^(-4x)
13. Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x.
A. Cực tiểu tại (1, 0)
B. Cực đại tại (1, 0)
C. Không có cực trị
D. Điểm yên ngựa tại (1, 0)
14. Tính tích phân kép ∫∫_D (x + y) dA, với D là miền tam giác giới hạn bởi y = 0, x = 1, y = x.
A. 5/6
B. 2/3
C. 1/2
D. 1
15. Trong không gian vectơ, tập hợp nào sau đây là không gian con của R^2?
A. {(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0}
B. {(x, y) | x + y = 1}
C. {(x, y) | y = 2x}
D. {(x, y) | xy = 0}
16. Ứng dụng của tích phân bội trong hình học là gì?
A. Tính diện tích miền phẳng và thể tích vật thể
B. Giải phương trình vi phân
C. Tìm cực trị hàm nhiều biến
D. Phân tích chuỗi Fourier
17. Hàm số nào sau đây là hàm thuần nhất?
A. f(x, y) = x^2 + y + 1
B. f(x, y) = x^2 + xy
C. f(x, y) = sin(x/y)
D. f(x, y) = x + ln(y)
18. Trong không gian R^2, phép biến đổi tuyến tính nào sau đây là phép quay quanh gốc tọa độ?
A. T(x, y) = (x + y, x - y)
B. T(x, y) = (2x, 2y)
C. T(x, y) = (x cosθ - y sinθ, x sinθ + y cosθ)
D. T(x, y) = (x + 1, y)
19. Tính tích phân bất định ∫(2x + 1) dx.
A. x^2 + x + C
B. 2x^2 + x + C
C. x^2 + C
D. 2x + C
20. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Điều kiện nào sau đây đảm bảo hệ có nghiệm duy nhất?
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. b = 0
D. A là ma trận vuông
21. Trong phép chiếu trực giao từ R^3 xuống mặt phẳng xy, vectơ (x, y, z) được chiếu thành vectơ nào?
A. (x, y, 0)
B. (0, 0, z)
C. (x, 0, 0)
D. (0, y, 0)
22. Tính tích phân đường loại 2 ∫_C (x dy - y dx) với C là đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ.
23. Tìm hạng của ma trận A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 6, 9]].
24. Tính định thức của ma trận A = [[2, 1], [4, 3]].
25. Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Tìm gradient của f tại điểm (1, 0).
A. (2e, 0)
B. (e, 0)
C. (2, 0)
D. (0, 2e)
26. Phương trình nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?
A. y` + sin(y) = x
B. y` + xy = x^2
C. (y`)^2 + y = x
D. yy` + y = x
27. Trong giải tích vectơ, toán tử `div` (divergence) tác động lên đối tượng nào?
A. Trường vectơ
B. Trường vô hướng
C. Đường cong
D. Mặt cong
28. Giá trị riêng của ma trận A = [[3, 0], [0, 3]] là:
A. λ = 3 (bội 2)
B. λ = 3 và λ = 0
C. λ = 1 và λ = 3
D. λ = -3 (bội 2)
29. Chuỗi số ∑[n=1, ∞] (1/n^p) hội tụ khi nào?
A. p > 1
B. p < 1
C. p ≤ 1
D. p ≥ 1
30. Trong không gian vectơ R^3, cho hai vectơ u = (1, 2, -1) và v = (3, 1, 2). Tìm tích có hướng của u và v (u x v).
A. (5, -5, -5)
B. (5, -5, 5)
C. (5, 5, -5)
D. (-5, 5, 5)
