Đề thi, bài tập trắc nghiệm online Toán cho các nhà kinh tế – Đề 11

Mô hình IS-LM là một mô hình kinh tế vĩ mô đơn giản, sử dụng hệ phương trình tuyến tính để biểu diễn mối quan hệ cân bằng trên thị trường hàng hóa (IS) và thị trường tiền tệ (LM), từ đó xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng.

Phương trình sai phân và phương trình vi phân là hai công cụ toán học để mô tả sự thay đổi theo thời gian. Điểm khác biệt chính là phương trình sai phân được sử dụng khi thời gian và biến số là rời rạc (ví dụ, theo từng giai đoạn, năm), trong khi phương trình vi phân dùng cho thời gian và biến số liên tục.

Trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo, doanh nghiệp là người chấp nhận giá (price taker). Để tối đa hóa lợi nhuận, doanh nghiệp sẽ sản xuất ở mức sản lượng mà tại đó giá thị trường (P) bằng với chi phí biên (MC). Điều kiện P = MC đảm bảo lợi nhuận biên bằng 0, và không thể tăng lợi nhuận bằng cách thay đổi sản lượng.

Phép toán ma trận rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực của kinh tế học, bao gồm kinh tế lượng, mô hình Input-Output, và xử lý dữ liệu. Tuy nhiên, tính GDP danh nghĩa là một phép tính tổng cộng các giá trị sản xuất, không trực tiếp sử dụng phép toán ma trận một cách cốt lõi như các ứng dụng khác.

Tích phân xác định tính tổng diện tích dưới đường cong của một hàm số trên một khoảng xác định. Trong kinh tế, nó được dùng để tính tổng giá trị (ví dụ, tổng thặng dư tiêu dùng) và giá trị hiện tại ròng bằng cách tích phân dòng tiền chiết khấu theo thời gian.

Hệ số xác định R-squared là một thống kê đo lường mức độ phù hợp của mô hình hồi quy với dữ liệu. Nó cho biết tỷ lệ phần trăm phương sai tổng cộng của biến phụ thuộc (Y) được giải thích bởi các biến độc lập (X) trong mô hình. R-squared nằm trong khoảng từ 0 đến 1, giá trị càng cao cho thấy mô hình càng 'phù hợp' với dữ liệu.

Giá trị kỳ vọng (Expected Value - EV) là một khái niệm cơ bản trong lý thuyết ra quyết định dưới rủi ro. Nó được tính bằng cách lấy tổng của tích của mỗi kết quả có thể (xi) với xác suất xảy ra của kết quả đó (pi): EV = Σ(pi * xi).

Ma trận Hessian là ma trận các đạo hàm riêng cấp hai của một hàm số nhiều biến. Trong tối ưu hóa, nó được dùng để xác định cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa của hàm số thông qua việc xét dấu của định thức con chính và tính xác định dương/âm.

Đường ngân sách có phương trình Px*x + Py*y = I. Để biểu diễn y theo x, ta có y = (I/Py) - (Px/Py)*x. Hệ số góc của đường ngân sách là hệ số của x, tức là -Px/Py. Nó biểu thị tỷ lệ giá cả tương đối và độ dốc của đường ngân sách.

Giá trị riêng và vectơ riêng quan trọng trong việc phân tích tính ổn định và hành vi của các hệ thống động lực, bao gồm cả các mô hình kinh tế vĩ mô và chuỗi thời gian. Chúng giúp xác định các quỹ đạo và điểm cân bằng của hệ thống.

Đa cộng tuyến xảy ra khi có mối tương quan tuyến tính cao giữa các biến độc lập trong mô hình hồi quy. Nó không gây sai lệch ước lượng, nhưng làm tăng phương sai và sai số chuẩn của các ước lượng hệ số, khiến cho các kiểm định giả thuyết trở nên kém tin cậy và khó bác bỏ giả thuyết không.

Điều kiện bậc nhất (FOC) chỉ cho biết điểm tới hạn (đạo hàm bằng 0). Để xác định loại cực trị (cực đại, cực tiểu, hay điểm yên ngựa), cần sử dụng điều kiện bậc hai (SOC), liên quan đến dấu của đạo hàm bậc hai (hoặc ma trận Hessian trong hàm nhiều biến).

Phương pháp OLS là một kỹ thuật hồi quy tuyến tính phổ biến, nhằm tìm ra đường hồi quy 'phù hợp nhất' với dữ liệu bằng cách tối thiểu hóa tổng bình phương các khoảng cách thẳng đứng từ các điểm dữ liệu đến đường hồi quy (phần dư).

Hàm Cobb-Douglas là một dạng hàm sản xuất phổ biến, mô tả mối quan hệ giữa sản lượng đầu ra và các yếu tố đầu vào như vốn (K) và lao động (L), thường có dạng Q = A*K^α*L^β.

Chi phí biên (MC) là đạo hàm bậc nhất của hàm tổng chi phí (TC) theo sản lượng (Q). MC(Q) = d(TC)/dQ = 3Q^2 - 24Q + 60.

Phương trình vi phân mô tả mối quan hệ giữa một hàm số và các đạo hàm của nó. Trong kinh tế, chúng rất hữu ích để mô hình hóa các quá trình diễn ra theo thời gian, như tăng trưởng kinh tế, lạm phát, hoặc sự điều chỉnh thị trường.

Đạo hàm của một hàm số tại một điểm đo lường tỷ lệ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó. Trong kinh tế, nó thường được dùng để phân tích sự thay đổi biên tế (marginal change).

Phân tích tĩnh so sánh tập trung vào việc so sánh hai trạng thái cân bằng (trước và sau khi có sự thay đổi tham số). Đạo hàm giúp xác định hướng và độ lớn của sự thay đổi trong các biến nội sinh khi tham số ngoại sinh biến đổi.

Để tối đa hóa lợi nhuận, ta tìm đạo hàm bậc nhất của hàm lợi nhuận theo Q và đặt bằng 0: dπ/dQ = -0.2Q + 10 = 0 => 0.2Q = 10 => Q = 10 / 0.2 = 50. Để kiểm tra cực đại, đạo hàm bậc hai d^2π/dQ^2 = -0.2 < 0, nên Q = 50 là điểm cực đại lợi nhuận.

Điều kiện bậc nhất (FOC) là một điều kiện cần để một điểm là điểm cực trị (cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa) của hàm số. Nó yêu cầu đạo hàm bậc nhất của hàm số tại điểm đó phải bằng không (hoặc không xác định).

Cân bằng Nash là một khái niệm trung tâm trong lý thuyết trò chơi. Nó mô tả một trạng thái ổn định trong đó mỗi người chơi chọn chiến lược tốt nhất cho mình, giả định rằng những người chơi khác cũng đang chọn chiến lược tốt nhất cho họ. Không ai muốn thay đổi chiến lược đơn phương vì làm vậy sẽ không cải thiện (hoặc làm giảm) lợi ích của họ.

Để tìm giá và lượng cân bằng, ta cho Qs = Qd: 2P - 5 = 15 - 3P => 5P = 20 => P = 4. Thay P = 4 vào hàm cung (hoặc cầu): Qs = 2*(4) - 5 = 8 - 5 = 3. Vậy giá cân bằng là P=4 và lượng cân bằng là Q=3.

Trong mô hình tăng trưởng Solow mở rộng với tiến bộ công nghệ, phương trình cơ bản mô tả sự thay đổi vốn trên mỗi lao động hiệu quả (k) là dk/dt = sf(k) - (n+g+δ)k, trong đó s là tỷ lệ tiết kiệm, f(k) là hàm sản xuất theo vốn trên mỗi lao động hiệu quả, n là tỷ lệ tăng trưởng dân số, g là tỷ lệ tiến bộ công nghệ, và δ là tỷ lệ khấu hao vốn.

Tính lồi (hoặc lõm - concavity cho bài toán cực đại) của tập hợp lựa chọn và hàm mục tiêu (hoặc hàm lợi ích) là điều kiện quan trọng để đảm bảo rằng cực trị cục bộ (local extremum) tìm được cũng là cực trị toàn cục.

Đường IS (Investment-Saving) biểu diễn tập hợp các mức thu nhập quốc dân (Y) và lãi suất (r) sao cho thị trường hàng hóa đạt trạng thái cân bằng, tức là tổng chi tiêu dự kiến (Aggregate Expenditure) bằng với sản lượng quốc gia (National Output).

Tỷ lệ thay thế biên (MRS) là tỷ lệ mà người tiêu dùng sẵn lòng đánh đổi giữa hai hàng hóa, giữ mức lợi ích không đổi. MRS = - (∂U/∂x) / (∂U/∂y). Trong trường hợp này, ∂U/∂x = 1/x và ∂U/∂y = 2/y. Vậy MRS = - (1/x) / (2/y) = -y/(2x). Giá trị tuyệt đối của MRS là y/(2x).

Chiết khấu dòng tiền trong tương lai về giá trị hiện tại là quá trình sử dụng lãi suất chiết khấu (discount rate) để giảm giá trị của tiền tệ trong tương lai so với hiện tại. Về mặt toán học, nó dựa trên hàm mũ, thường có dạng PV = FV / (1+r)^t, với r là lãi suất chiết khấu và t là số kỳ.

Phương pháp nhân tử Lagrange là một kỹ thuật để giải quyết bài toán tối ưu hóa có ràng buộc bằng cách đưa ràng buộc vào hàm mục tiêu, tạo thành hàm Lagrange, và sau đó tìm điểm cực trị của hàm Lagrange này như một bài toán không ràng buộc.

Bài toán tối thiểu hóa chi phí (cost minimization) của doanh nghiệp thường đặt ra mục tiêu đạt được một mức sản lượng (Q) cho trước với chi phí thấp nhất. Do đó, ràng buộc chính là hàm sản xuất f(K, L) phải đạt được mức sản lượng mục tiêu, ví dụ f(K, L) = Q_bar (với Q_bar là mức sản lượng mục tiêu).

Đạo hàm riêng ∂Q/∂L biểu thị sự thay đổi trong sản lượng (Q) khi lao động (L) thay đổi một đơn vị nhỏ, giữ vốn (K) không đổi. Đây chính là định nghĩa của sản phẩm biên của lao động (MPL), tức là lượng sản lượng tăng thêm khi sử dụng thêm một đơn vị lao động.